Задание №6. Кручение валов (КВ)

Для вала кругового сечения (рисунок 18) нагруженного скручивающими моментами, вращающегося с постоянной угловой скоростью, в соответствии с данными представленными в таблице 6 требуется определить:

1.Построить эпюру крутящих моментов М_z .

2.При заданном значении [τ ] определить диаметр вала из расчета на прочность и округлить его величину до ближайшего равного: 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 70, 80, 90,100,105,110,115,120,125 и т.д. (кратно 5) мм.

3.Построить эпюру углов закручивания сечения вала φ.

4.Найти наибольший относительный угол закручивания _max_.

Таблица 6 - Исходные данные к заданию №6 (КВ)

Номер строки	Номер схемы	l₁,м	l₂,м	l₃,м	m кН∙м	[τ ], МПа
	Х	0,6	0,7	0,5
	I	0,5	0,4	0,6
	II	0,4	0,5	0,7
	III	0,7	0,6	0,4
	IV	0,6	0,5	0,7
	V	0,5	0,6	0,4
	VI	0,4	0,7	0,5
	VII	0,7	0,4	0,6
	VIII	0,6	0,5	0,4
	IX	0,5	0,6	0,7
	в	а	а	а	б	в

Рисунок 18 –Варианты схем к заданию №6

Рисунок 19 – Варианты схем к заданию №6

Пример выполнения задания 6.

Кручение – такой вид деформации, при котором в поперечных сечениях стержня возникает только один внутренний силовой фактор – крутящий момент М_z.

Крутящий момент представляет собой сумму элементарных моментов всех внутренних сил в данном поперечном сечении относительно продольной оси стержня. М_z определяется методом сечений и численно равен сумме моментов всех внешних сил, приложенных к отсеченной части стержня, относительно продольной оси z.

Знак М_z принимается положительным, если, при взгляде в торец отсеченной части вала, действующий на него внешний момент направлен по ходу часовой стрелке и отрицательным, если – наоборот.

Стержень с круглым поперечным сечением при кручении называется валом.

Пример выполнения задания 2.

l₁	l₂	l₃	m	[τ ]
м	м	м	кН∙м	МПа
0,2	0,3	0,2	5,0

Рисунок 19 – Расчетная схема к заданию №6 и таблица исходных данных

1.Построить эпюру крутящих моментов М_z .

2.При заданном значении [τ ] определить диаметр вала из расчета на прочность и округлить его величину до ближайшего равного: 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 70, 80, 90,100 мм.

3.Построить эпюру углов закручивания сечения вала φ.

4.Найти наибольший относительный угол закручивания _max_.

Решение

1. Построение эпюры крутящих моментов М_z .

Эпюра M_z – это график изменения крутящего момента по длине вала.

Величина крутящего момента М_z определяется методом сечений, а именно: на каждом из участков (границами которых являются места приложения внешних скручивающих моментов, (рисунок 8) мысленно проводится сечение и одна из двух частей вала, например, левая - отбрасывается (рисунок 9).

Действие отброшенной части на оставшуюся заменяется неизвестным крутящим моментом М_z в данном сечении. Из уравнения равновесия для отсеченной части (рисунок 9, а, б, в) определяется момент M_z.

Рисунок 20- Метод сечений

Сечение I-I на участке l₃ (рисунок 20,а):

∑ m _z = 0, m - M_z = 0, M_z = m = 5 кН∙м.

Сечение II-II на участке l₂(рисунок 20,б):

∑ m _z = 0, m – 2m - M_z = 0, M_z =- m = - 5 кН∙м.

Сечение III-III на участке l₁(рисунок 20, в):

∑ m _z = 0, m – 2m + 3m - M_z = 0, M_z = 2m = 2∙5 = 10 кН∙м.

По полученным значениям строится эпюра M_z _. Положительные значения откладываются вверх, отрицательные – вниз от нулевой линии.

Рисунок 21 – Эпюры Мz и φ

2.При заданном значении [τ ] определим диаметр вала из расчета на прочность. Тип прочностного расчета в задании 6 –проектировочный.

Условие прочности по касательным напряжениям при кручении имеет вид:

- максимальный крутящий момент в опасном сечении вала по модулю (рисунок 21), МПа; определим М_z = 10 кН.

[τ ] - допускаемое напряжение при кручении, [τ ]=60 МПа;

- полярный момент сопротивления для сплошного круглого вала, м³;

Диаметр вала определяется по формуле:

d =0,029 м = 29 мм.

Полученное значение диаметра вала округляется в большую сторону и равно в примере: d=30 мм.

3.Построим эпюру углов закручивания φ.

Так как вал вращается, то речь может идти только о повороте его сечений относительно какого-либо сечения, условно принятого неподвижным, например, крайнего левого сечения 0-0 (φ_а = 0, рисунок 21).При этом угол поворота любого сечения S-S относительно сечения 0-0 определяется скручиванием части вала между 0-0 и S-S и равен в случае n участков, на каждом из которых М_z и I_р постоянным

G I_р_i – крутильная жесткость сечения i –го участка вала,

I_р – полярный момент инерции круглого вала, м⁴

Для сплошного круглого поперечного сечения вала:

I_р = 0,1 d⁴= 0,1∙0,030⁴= 0,81∙10^-7м⁴.

G-

G =0,8 ∙10⁵МПа = 0,8∙10¹¹Па

Для φ_s следует

По полученным данным строится эпюра взаимных углов поворота φ (риcунок 21).

3.Вычислим наибольший относительный угол закручивания в опасном сечении по формуле:

_max= = = 15,43 м^-1.