Сдвиг и кручение

Сдвигом называют такой вид напряженного состояния, когда на гранях элемента действуют только касательные напряжения Деформации, возникающие при сдвиге, называют угловыми деформациями или углом сдвига. Опыты показывают, что между напряжениями и деформациями при сдвиге существует линейная зависимость, аналогичная закону Гука при растяжении. Закон Гука при сдвиге имеет вид t=gG, где g — угол сдвига, a G — модуль упругости второго рода, или модуль сдвига.

Следует обратить внимание на то, что модуль продольной упругости, или модуль упругости первого рода, и модуль упругости при сдвиге G для одного и того же материала связаны через коэффициента Пуассона m зависимостью G=E/2(l+m). При расчетах на рез обычно принимают, что касательные напряжения распределены равномерно в поперечном сечении стержня и условие прочности на срез имеет вид t=F/A [t] . Допускаемые напряжения [t] на сдвиг (срез) составляют некоторую часть от допускаемых напряжений на растяжение.

Рассчитывают на срез соединения заклепочные, болтовые, сварные, шпоночные и некоторые другие типы соединений. При проведении прочностных расчетов на сдвиг (срез) необходимо научиться правильно определять площади среза для односрезмых и многосрезных заклепок, а также для углового сварного шва, в котором срез происходят по биссекторной плоскости прямого угла поперечно­го сечения шва.

Если в поперечном сечении стержня действует крутящий момент Т, то стержень испытывает кручение. Необходимо, используя метод сечений, научиться строить эпюры крутящих моментов по длине стержня и определять возникающие при этом касательные напряжения, определяемые из соотношения t = T/W_p, где W_p — по­лярный момент сопротивления сечения кручению.

В поперечном сечении стержня касательные напряжения рас­пределены неравномерно. Так, для стержня с круглым поперечным сечением касательные напряжения изменяются по линейному зако­ну— от нуля до максимального значения у поверхности. Гак как сечения, расположенные у оси стержня, нагружены незначительно, то с целью экономии материала при кручении целесообразно ис­пользовать пустотелые профили. Крутящий момент в сечении скру­чиваемого стержня (вала) численно равен алгебраической сумме внешних скручивающих моментов, действующих по одну сторону от сечения.

Если на брус круглого поперечного сечения действуют одно­временно крутящий и изгибающий моменты, то расчет на прочность таких брусьев (валов) производится с использованием третьей или четвертой гипотез прочности.

Вопросы для самопроверки

1. Что называется абсолютным и относительным сдвигом? 2. Что называется законом парности касательных напряжений при сдвиге? 3.Как формулируется закон Гука при сдвиге? 4. Как свя­заны между собой модуль продольной упругости Е и модуль сдви­га G? 5. Как производится расчет на прочность при сдвиге (срезе)? 6.Как распределены напряжения в поперечном сечении при сдвиге? 7.Как рассчитывают на срез заклепочные и сварные соединения? 8.Что называют кручением? 9. Какие напряжения возникают в поперечном сечении круглого стержня при кручении? 10. Как опреде­лить величинунапряжений при кручении? 11.Как определить допу­стимые напряжения при кручении? 12.Как определить полярный момент инерции и полярный момент сопротивления сечения при кру­чении? Какова ихразмерность? 13.Как определить угол закручива­ния стержня? 14.Как записать условие прочности при кручений? 15.В чем заключается расчет вала на жесткость? 16.Как рассчитывают валы на сложное сопротивление (изгиб совместно с круче­нием)?

Изгиб

При изгибе стержень (балка) подвергается воздействию поперечной силы или изгибающего момента. Изгиб называется чистым, если действует только изгибающий момент, и поперечным, если поперек стержня действует только нормальная нагрузка, перпенди­кулярная оси стержня. Балки являются наиболее часто встречаю­щимися элементами сооружений и машин, воспринимающими нагруз­ки от других элементов конструкций и передающими их тем частям, которые поддерживают балку (чаще всего опорам).

В строительных сооружениях, машиностроительных конструкци­ях, приборах и т.д. чаще всего можно встретить следующие случаи закрепления концов балок: консольные — с одним защемленным концом (с жесткой заделкой), когда конец балки не может ни перемещаться, ни поворачиваться, двухопорные — с одной шарнирно-неподвижной опорой и с одной шарнирно-подвижной опорой н многоопорные балки. Если опорные реакции не могут быть най­дены только из уравнений статики, такие балки называют стати­чески неопределимыми. Для определения реакций в таких балках приходится составлять дополнительные уравнения — урав­нения перемещений. При плоском поперечном изгибе все внешние нагрузки перпендикулярны оси балки.

Определение внутренних силовых факторов, действующих в по­перечных сечениях балки, следует начинать с определения опорных реакций. После этого используем метод сечений, для чего мысленно рассекаем балку на две части и рассматриваем равновесие одной из них. Взаимодействие ее с другой частью балки заменяем внутренни­ми реакциями в виде изгибающего момента и поперечной силы.

Поперечная сила в сечении равна алгебраической сумме проек­ций всех сил на ось, перпендикулярную оси балки, а изгибающий мо­мент равен алгебраической сумме моментов всех сил, расположенных по одну сторону от сечения. Знаки действующих сил и моментов сле­дует определять в соответствии с определенными правилами. Необ­ходимо научиться правильно определять равнодействующую силу и изгибающий момент от равномерно распределенной по длине бал­ки нагрузки.

Следует иметь в виду, что при определении напряжений, возникающих при изгибе, принимают следующие допущения: сечения балки плоские до изгиба остаются плоскими и после изгиба (гипотеза плоских сечений); продольные соседние волокна не давят одно другое; зависимость между напряжениями и деформациями линей (закон Гука).

При изучении изгиба следует обратить внимание на неравномерность распределения нормальных напряжений в поперечном сечении балки. На одной части сечения напряжения растягивающие, а на другой — сжимающие. В осевом сечении напряжения отсутствуют оно и называется нейтральной осью. Нормальные напряжения изменяются по высоте поперечного сечения пропорционально расстоянию от нейтральной оси. Следует уметь определять напряжения изгиба, которые зависят от действующего изгибающего момента М и момента сопротивления сечения при изгибе W.

Условие прочности при изгибе s=M/W [s]. Значение величины W зависит от размеров и формы поперечного сечения.

Наличие поперечной силы, действующей на балку, связано с возникновением касательных напряжении в поперечных сечениях, а закону парности касательных напряжений — в продольных сечениях. Касательные напряжения определяют по формуле Журавского.

Поперечная сила сдвигает рассматриваемое сечение относительно смежного. Изгибающий момент, складывающийся из элементарных нормальных усилий, возникающих в поперечном сечении балки, поворачивает сечение относительно смежного, чем и обусловлено искривление оси балки, т. е. ее изгиб.

Когда балка испытывает чистый изгиб, то по всей длине балки или на отдельном ее участке в каждом сечении действует постоянный изгибающий момент, а поперечная сила в любом сечении данного участка равна нулю. При этом в поперечных сечениях балки возникают только нормальные напряжения.

Для того чтобы глубже разобраться в физических явлениях изгиба и в методике решения задач при расчете на прочность и жесткость, необходимо хорошо усвоить геометрические характеристики плоских сечений, а именно: статические моменты сечений моменты инерции сечений как простой, так и сложной форм определение центра тяжести фигур сечений; главные моменты инерции сечений и главные оси инерции; центробежный момент инерции; изменение моментов инерции при повороте осей; теоремы о переносе осей.

При изучении этого раздела следует научиться правильно строить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил, определять опасные сечения и действующие в них напряжения.

Помимо определения напряжений следует научиться определять перемещения точек нейтральной оси балки (прогибы балки) при изгибе. Для этого используется дифференциальное уравнение изогнутой оси балки (упругой линии), записанное в общем виде.

Для определения прогибов проводится интегрирование уравнения упругой линии. При этом следует правильно определять постоян­ные интегрирования, исходя из условий опирания балки (граничных условий). Зная их, можно определить угол поворота и прогиб любого сечения балки.

Изучение сложного сопротивления обычно начинают с косого изгиба. Явление косого изгиба особенно опасно для сечений со значи­тельно отличающимися друг от друга главными моментами инерции: балки с таким сечением хорошо работают на изгиб в плоскости наи­большей жесткости» но даже при небольших углах наклона плоско­сти внешних сил к плоскости наибольшей жесткости в балках возни­кнут значительные дополнительные напряжения и деформации.

Для балки круглого сечения косой изгиб невозможен, так как се центральные оси такого сечения являются главными и нейтраль­ный слой всегда будет перпендикулярен плоскости внешних сил. Ко­сой изгиб невозможен и для балки квадратного сечения.

При определении напряжений в случае внецентренного растяжения или сжатия необходимо знать положение главных центральных сей сечения; именно от этих осей отсчитывают расстояния точки при­ложения силы и точки, в которой определяют напряжения.

Приложенная эксцентрично сжимающая сила может вызвать в поперечном сечении стержня растягивающие напряжения. В связи с этим внецентренное сжатие является особенно опасным для стерж­ней из хрупких материалов (кирпича, бетона), которые слабо сопро­тивляются растягивающим усилиям.

В заключение следует изучить случай комбинированного нагружения, когда тело испытывает одновременно несколько видов дефор­маций: например, изгиб совместно с кручением, растяжение — сжа­тие совместно с изгибом и т.д. При этом следует иметь в виду, что изгибающие моменты, действующие в различных плоскостях, могут складываться как векторы.

Вопросы для самопроверки

1. Какой изгиб называют чистым, а какой — поперечным? 2. Ка­кие балки называют статически определимыми? 3. Как определить изгибающий момент и поперечную силу в каком-либо сечении балки? 4. Как формулируются правила знаков при определении величин из­гибающих моментов и поперечных сил? 5. Какие допущения прини­маются при изгибе? 6. Какая зависимость имеется между моментом и перерезывающей силой? 7. Как определить максимальный изгибаю­щий момент? 8. Как распределены нормальные напряжения в попе­речных сечениях балки? 0. Чему равны напряжения изгиба? 10. Что называется нейтральным слоем и где он расположен? 11. Что называется моментом инерции при изгибе? 12. В каких плоскостях возникают касательные напряжения при изгибе? 13. По какой формуле определяют величину касательных напряжений? 14. Как определить координаты центра тяжести плоской фигуры? 15. Чему равна 3 осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей? 16. Какие оси называют главными? 17. Для каких фигур можно без вычислений определить положение главных централ! осей? 18. Относительно каких центральных осей осевые моменты инерции имеют наибольшее и наименьшее значения? 19. Что называют моментом сопротивления при изгибе? 20. Как выгоднее нагрузить балку прямоугольного сечения? 21. Как запишется дифференциальное уравнение изогнутой оси балки в общем виде? 22. Как на постоянные интегрирования и что они обозначают? 23. Как на наибольшее значение прогиба? 24. Какой случай изгиба называют косым изгибом? 25. В каких точках поперечного сечения возникают наибольшие напряжения при косом изгибе? 20. Как находят положе! нейтральной линии при косом изгибе? 27. Как пройдет нейтральная линия, если плоскость действия сил совпадает с диагональной плоскостью балки прямоугольного поперечного сечения? 28. Как определяют деформации при косом изгибе? 29. Чему равно напряжение в центре тяжести поперечного сечения при внецентренном растяжении или сжатии? 30. Как находят напряжения в произвольной точке перечного сечения при внецентренном растяжении или сжатии? Чему равно напряжение в центре тяжести поперечного сечения при внецентренном растяжении или сжатии? 32. Какое положение занимает нейтральная линия, когда продольная сила приложена в вершине ядра сечения? 33. Какие напряжения возникают в поперечном сечении стержня при изгибе с кручением? 34. Как находят опасные сечения стержня при изгибе с кручением? 35. В каких точках круглого поперечного сечения возникают наибольшие напряжения при изгибе с кручением? 38. Как находится числовое значение расчетного момента при изгибе с кручением стержня круглого поперечного сечения?

ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ И ТРЕБОВАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ

КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Контрольная работа студента-заочника состоит из двух частей:

I часть – задания 1-3 по дисциплине теоретическая механика

II часть – задания 4–6 по дисциплине сопротивление материалов и задание 7 по дисциплине теория механизмов и машин.

1.Выполнение контрольной работы входит в самостоятельную работу студента.

2.Исходные данные должны соответствовать шифру зачетной книжки.

3.Работа должна оформляться в формате А4 с приложением титульного листа, теоретической, графической частей и списка использованной литературы.

4. Начало каждого задания сопровождается исходными данными и соответствующей им расчетной схемой.

5.Решение задачи описывается подробно по принципу «формула – подстановка -ответ - единица измерения в системе СИ».

6.Графическая часть (расчетные схемы, эпюры и план положений рычажного механизма) выполняются на отдельных листках или миллиметровках, в выбранном масштабе с помощью чертежных инструментов и указанием всех размеров, осей, числовых данных (по модулю) и единиц измерения.

ЧАСТЬ I