Тема 3. Разбиение множества на классы. Число элементов объединения двух и трех конечных множеств

Контрольные вопросы по теории

1. При каких условиях считают, что множество разбито на классы?

2. Как определить число элементов в объединении двух или трех конечных множеств?

Практические задания

1.Из множества Р = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} выделили подмножества А, В и С. Выясните, в каком случае произошло разбие­ние множества Р на классы:

а) А = {1; 3; 5}, В = {2; 4; 6; 8}, С = {7; 9};

б) А = {5}, В = {3; 4; 8; 9}, С ={1; 6};

в) А = {1; 3; 5}, В = {2; 4; 6; 8}, С = {5; 7; 9};

г) А = {1; 3}, В = {4; 6; 8}, С = {5; 6; 9}.

2.Выясните, в каких случаях классификация выполнена правильно:

а) треугольники делятся на прямоугольные, тупоугольные и остроугольные;

б) треугольники делятся на разносторонние, равнобедренные и равносторонние;

в) углы делятся на острые, прямые и развернутые;

г) целые числа можно разбить на натуральные числа, число 0 и отрицательные целые числа;

д) натуральные числа делятся на однозначные, двузначные и трехзначные;

е) параллелограммы могут быть прямоугольниками, квадратами и ромбами.

3.Из множества Т треугольников выделили два подмножества: Х – прямоугольных треугольников и Y – равнобедренных треугольников. Постройте для данных множеств круги Эйлера и установите, на сколько непересекающихся областей разбился круг, изображающий множество Т. Все множества, изображенные этими областями, задайте описанием характеристического свойства.

4.Разбейте множество четырехугольников на классы: а) по какому-либо одному свойству; б) по двум свойствам. Укажите эти свойства, для каждого случая постройте круги Эйлера, установите число непересекающихся областей и выясните, какие множества изображаются этими областями.

5.Множества Р ромбов, Т треугольников и К многоугольни­ков, имеющих угол 30°, являются подмножествами множества М многоугольников. Постройте круги Эйлера для данных множеств, установите, на сколько непересекающихся областей разбился круг, изображающий множество М, и для всех множеств, изображенных этими областями, укажите характеристическое свойство

6.Из множества натуральных чисел выделили два подмножества: А – подмножество натуральных чисел, кратных 3, и В – подмножество натуральных чисел, кратных 4. Постройте круги Эйлера для указанных множеств; установите, на сколько попарно непересекающихся множеств произошло разбиение множества натуральных чисел; укажите характеристические свойства этих множеств.

7.Из множества параллелограммов выделили подмножество прямоугольников и подмножество квадратов. Постройте круги Эйлера для данных множеств. На сколько попарно непересекающихся множеств произошло разбиение множества параллелограммов; укажите характеристические свойства этих множеств.

8.Из 25 учащихся класса 15 увлекаются математикой, а 12 – русским языком. Каким может быть число учащихся, увлекающихся обоими предметами; только одним предметом?

9.Из 25 учащихся класса 12 увлекаются математикой, а 8 – русским языком. Каким может быть число учащихся, увлекающихся обоими предметами; только одним предметом?

10.Из 30 учащихся класса 22 занимаются в математическом кружке, 11 – в кружке «Умелые руки», а 5 – в обоих кружках. Сколько учащихся класса не занимаются ни в том, ни в другом кружке?

11.Из 100 учащихся класса, изучающих английский и немецкий языки, 85 изучают английский, 45 – немецкий. Сколько человек изучают оба языка?

12.В классе 30 человек, посещающих факультативные занятия по естествознанию и математике. Известно, что углубленно изучают оба предмета 10 человек, а математику – 25. Сколько человек посещают факультативные занятия только по естествознанию?

13.В классе 28 учеников. Из них 12 лыжников, 10 пловцов, 18 велосипедистов, причем каждый спортсмен занимается ровно двумя видами спорта. Сколько в классе спортсменов? Сколько учеников не занимаются спортом?

14.Все 35 первокурсников являются читателями институтской или районной библиотеки. Из них 25 берут книги в институтской библиотеке, 20 – районной. Сколько из них: а) не являются читателями институтской библиотеки; б) не являются читателями районной библиотеки; в) являются читателями только институтской библиотеки; г) являются читателями только районной библиотеки; д) являются читателями обеих библиотек?

15.Из 100 человек английский язык изучают 28, немецкий – 30, французский – 42, английский и немецкий – 8, английский и французский – 5, немецкий и французский – 7. Все три языка изучают 3 студента. Сколько студентов изучает только один язык?

16.Сколько чисел содержится в множестве Р, если известно, что среди них 100 чисел кратно двум; 115 – трем; 120 – пяти; 45 – шести; 38 – десяти; 50 – пятнадцати; 20 чисел – тридцати?

17.Из 100 студентов 6 отличников, 20 спортсменов и 25 участников «Весны ГГПИ». Из них отличников и спортсменов – 3; спортсменов и артистов – 2; отличников и артистов – 2, отличников, спортсменов и артистов – 1. Сколько студентов не являются ни отличниками, ни спортсменами, ни артистами?

18.В классе 35 учеников, каждый из которых любит футбол, волейбол или баскетбол. Из них 24 человека любят футбол, 18 – волейбол, 12 – баскетбол. 10 учеников любят футбол и волейбол, 8 – футбол и баскетбол, а 5 – волейбол и баскетбол. Сколько учеников этого класса любят все три вида спорта?

19.Из 50 человек 20 занимаются плаванием, 25 – хоккеем, 6 – только волейболом, 4 – ни одним видом спорта. Сколько человек занимаются плаванием и хоккеем?

20.В спартакиаде участвует школьная команда из 20 человек, каждый из которых имеет разряд по одному или нескольким видам спорта: легкой атлетике, плаванию или гимнастике. Известно, что 12 человек имеют разряд по легкой атлетике, 10 – по гимнастике, 5 – по плаванию. Сколько учеников имеют разряды по всем трем видам спорта, если по легкой атлетике и гимнастике имеют разряд 4 человека, по плаванию и гимнастике – 2 человека, по легкой атлетике и плаванию – 2 человека?

21.80 человек знают хотя бы один из трех языков, причем 10 человек знают только английский, 14 – только немецкий, 20 – только французский, а число знающих все три языка на 2 меньше числа знающих только немецкий и французский, на 4 меньше числа знающих только английский и французский, на 6 меньше числа знающих только английский и немецкий. Сколько человек знают все три языка?

22.Одному из учащихся было поручено написать заметку в стенную газету об успеваемости класса за первое полугодие. Он взял журнал и выписал следующие сведения: из 40 учащихся класса 25 человек не имеют троек по русскому языку, 28 – по математике, 31 – по чтению, 22 – по чтению и русскому языку, 12 человек учатся без троек по всем предметам. Прочитав заметку, редактор сказал: «Ты ошибся в счете, данные явно неверные». Объясните, почему представленные сведения не могут быть верными?

23.В одной школе из 70 десятиклассников 26 человек занимаются в радиотехническом кружке, 18 – в математическом, 24 – в физическом, 20 человек не занимаются ни в каком кружке. Из членов физического кружка 10 посещают математический кружок и 6 радиотехнический. Есть ли ученики, посещающие только радиотехнический и математический кружки?

Тема 4. Соответствия между двумя множествами

Контрольные вопросы по теории

1. Дайте определение декартова произведения множеств.

2. Перечислите способы задания декартова произведения множеств.

3. В каком отношении находятся множества X × Y и Y × X?

4. Что называют соответствием между множествами Х и Y?

5. Какое множество называют областью отправления, областью прибытия, областью определения и множеством значений соответствия?

6. Перечислите способы задания соответствий.

7. Какое соответствие называют отображением множества Х в множество Y; отображением множества Х на множество Y?

8. Какое соответствие называют взаимно однозначным соответствием?

9. Какие множества называют равномощными? В каком случае равномощны конечные множества?

10. Какие множества называют счетными? Приведите примеры счетных и несчетных множеств.

Практические задания

1.Запишите все двузначные числа, цифры десятков которых принадлежат множеству А = {1; 2; 3}, а цифры единиц — мно­жеству В = {4; 5}.

2.Перечислите элементы, принадлежащие множеству X × Y если: a) X = {a; b; c}, Y = {k; l}; б) Х = {a; b}, Y = Х; в) Х = {a; b}, Y = Æ.

3.Изобразите на координатной плоскости элементы декартова произведения множеств X и Y, если:

а) Х ={–1; 0; 1; 2}, Y = {2; 3; 4};

б) Х ={–1; 0; 1; 2}, Y = [2; 4];

в) Х = [–1; 2], Y = {2; 3; 4};

г) Х = [1; 7], Y = [2; 6];

д) X = [–3; 2], Y = [0; 5);

е) X = R, Y = [–2; 2];

ж) X = (–3; 2], Y =R;

з) X = {2}, Y =R.

4.На координатной плоскости постройте прямую, параллельную оси ОХ и проходящую через точку Р (–2; 3). Установите, де­картово произведение каких двух множеств изображается на координатной плоскости в виде этой прямой.

5.На координатной плоскости постройте полосу, ограниченную прямыми, проходящими через точки (–2; 0) и (2; 0) и парал­лельными оси ОY. Опишите множество точек, принадлежащих этой полосе.

6.На координатной плоскости постройте прямоугольник с вершинами в точках А (–3; 5), В (–3; 8), С (7; 5), D (7; 8). Опишите множество точек этого прямоугольника.

7.Даны множества: А = {а, b}, В = {с, d, е}, С = {с, f}. Докажите, что множества А ´ (В È С) и (А ´ В) È (А ´ С) равны.

8.Найдите декартово произведение множеств А = {2; 5} и В = {3; 6} и выделите из него подмножество пар, которое задает соответствие: а) «больше»; б) «меньше»; в) «меньше на 1»; г) «меньше в 3 раза».

9.Даны множества А = {2; 4; 6} и В = {3; 5; 7; 9}. Между ними установлено соответствие «число а больше числа b», а Î А, b Î В. Постройте граф и график этого соответствия.

10.На рисунках изображены графы соответствий между множествами А и В. Для каждого соответствия укажите область отправления, область прибытия, область определения и множество значений. Какое из соответствий является отображением множества А в множество В, отображением множества А на множество В, взаимно однозначным отображением множества А на множество В?

А В А В А В

а) б) в)

11.Между элементами множеств Х и Y задано соответствие. Определите, является ли оно отображением. Если является, то выясните, какого вида это отображение.

а) Х = {1; 3; 5; 7}, Y = {2; 14; 10}, R: «х меньше у в 2 раза»;

б) Х = {6; 8; 9; 12}, Y = {32; 36}, R: «х – делитель у»

в) Х = {10; 20; 30; 40}, Y = {42; 22; 52; 12; 32}, R: «х меньше у на 2»;

г) Х = {4; 6; 8; 9}, Y = {36; 16; 81; 64}, R: «квадрат числа х равен у»;

д) Х = {14; 21; 10}, Y = {2; 3; 7}, R: «х кратно у»;

е) Х = {11; 12; 13; 14; 15}, Y = {0; 1; 2; 3}, R: «у – остаток от деления числа х на 3».

12.Точке М отрезка АВ сопостав­ляется ее проекция M₁ на прямую р. Покажите, что в этом случае отрезок АВ отображается в прямую р. Каким будет образ отрезка АВ при этом отображении?

13. Отношение между отрезками АВ и A₁B₁ установлено так, как пока­зано на рисунке, где А ® A₁, В® B₁, Х ® Х₁и т.д. Покажите, что заданное отношение – отображение отрезка АВ на отрезок A₁B₁. Найдите образ точки Y и отрезка XY при этом отображении. Яв­ляется ли данное отображение взаимно однозначным?

14.Каждой точке X окружности со­ответствует точка Х₁ диаметра АВ, что XX₁ ^ АВ. Задано ли при этом отображение окружности на диаметр? Является ли оно взаимно однозначным?

15.Докажите, что множества А и В равномощны, если: а) А – множество букв в слове «ко­лос», В – множество цифр числа 34 574; б) А – множество дней недели, В – множество, элементами которого являются буквы а, b, с, d, e, f, k.

16.Приведите примеры множеств, равномощных множеству: а) ног у кошки; б) цифр от 0 до 9.

17.Прочитайте следующие выска­зывания о множествах А и В и укажи­те истинные: а) если А = В, то А ~ В; б) если А ~ В , то А = В.

18.Даны две окружности с общим центром О, между которыми за­дано отношение: точке А окружности с меньшим радиусом ставится в соответствие точ­ка A₁ другой окружности, которая ле­жит на луче ОА. Установите, является ли это соответствие отображением одной окружности на другую. Сделайте вывод о равномощности данных окружностей.

19.X – множество окружностей плоскости, Y – множество точек этой плоскости. Отношение между множествами X и Y зада­но так: «окружность х имеет центр у». Равномощны ли множества X и Y?

20.Выделите из множества натуральных чисел четыре равномощных ему подмножества.

21.Докажите, что данные множества являются счетными: а) нечетных натуральных чисел; б) целых неотрица­тельных чисел; в) квадратов натуральных чисел; г) натуральных чисел, кратных 5.

Тема 5. Числовые функции

Контрольные вопросы по теории

1. Дайте определение числовой функции. Перечислите способы задания функций.

2. Какое множество называют областью определения и множеством значений функции?

3. Какое множество точек координатной плоскости называют графиком функции?

4. Дайте определения постоянной функции, прямой пропорциональности, обратной пропорциональности, линейной функции, квадратичной функции и укажите их свойства.

Практические задания

1.Каждому числу из множества Х = {3; 4; 5} поставлен в соответствие его делитель из множества натуральных чисел. Является ли это отношение функцией?

2.Какие из следующих формул задают на множестве действительных чисел функцию: а) у = 4х; б) у = ; в) х² + у² = 4?

3.На рисунке изображены графы различных соответствий. Найдите среди них те, которые задают функции. Для каждой функции укажите область определения и множество значений.

А В А В А В

а) б) в)

4.Функция задана уравнением у = 3х – 1. Областью ее определения является множество {1; 3; 5; 7}. Найдите множество значений этой функции.

5.Найдите множество значений функции у = 4 – х², если ее областью определения является множество Х: а) Х = R; б) Х = (– ; 0]; в) Х = [– 2; 2].

6.Найдите область определения функции: а) у = х + 2; б) у = ; в) у = .

7.Постройте график функции у = 3х, зная, что ее область определения есть: а) множество действительных чисел; б) числовой отрезок [0, 4]; в) множество целых чисел; г) множество {–2; –1; 0; 1; 2}.

8.Постройте график функции у = 2х и выясните, какими свойствами обладает функция.

9.Постройте график функции у = и выясните, какими свойствами обладает функция.

10.Какие из нижеприведенных таблиц задают прямую или обратную пропорциональность:

11.Установите вид зависимости, в которой находятся перемен­ные х и у, если:

а) х – длина стороны квадрата, у – его периметр;

б) х– длина стороны квадрата, у – его площадь;

в) х – число страниц, перепечатываемых машинисткой за один час, у – число часов, за которое она перепечатывает рукопись;

г) х – число прочитанных страниц книги, у – число оставших­ся непрочитанными.

12.Используя понятие прямой и обратной пропорционально­сти, обоснуйте способы решения нижеприведенных задач, рассмат­риваемых в начальных классах:

а) Из каждых 10 м ситца получались 3 рубашки. Сколько таких рубашек можно сшить из 50 м ситца?

б) Скорость машины 60 км/ч, скорость велосипедиста в 5 раз меньше. Велосипедист проехал расстояние от села до железнодо­рожной станции за 2 ч. За сколько минут можно проехать это рас­стояние на машине?

в) Два столяра, один из которых работал 6 дней, а второй – 3 дня, отремонтировали по одинаковому количеству стульев. По сколько стульев в день ремонтировал второй столяр, если известно, что первый ремонтировал по 10 стульев в день?

г) 400 кг печенья упаковали в коробки, по 5 кг в каждую. Сколько понадобится коробок, если в каждую из них упаковывать в 2 раза больше печенья?

д) Велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч и был в пути 2 ч. Сколько времени потребуется пешеходу, чтобы пройти это расстояние со скоростью 4 км/ч?

е) Два опытных участка имеют одинаковую площадь. Ширина первого участка 30 м, ширина второго – 40 м. Найдите длину первого участка, если известно, что длина второго участка равна 75 м.

13.Постройте график функции у = – 2х + 6 и выясните, какими свойствами обладает функция. Установите, на какое множество данная функ­ция отображает промежуток [0, 3].

14.С турбазы на станцию, отстоящую от нее на 20 км, отпра­вился турист со скоростью 4 км/ч. На каком расстоянии (s км) от станции он будет через t ч? На­пишите уравнение, выражающее зависимость между s и t. Какую функцию задает это уравнение?

15.Постройте графики квадратичных функций (разными способами) и выясните, какими свойствами обладает функция:

а) у = х² + 6х + 7;

б) у = 6х² – х –1;

в) у = х² + 12х + 35;

г) у = – 0,5х² + 3х – 4.

Тема 6. Отношения на множестве

Контрольные вопросы по теории

1. Дайте определение бинарного отношения на множестве Х.

2. Как записать утверждение о том, что элементы х и у находятся в отношении R?

3. Перечислите способы задания отношений.

4. Сформулируйте свойства, которыми могут обладать отношения. Как данные свойства отражаются на графе?

5. Какими свойствами должно обладать отношение, чтобы оно являлось отношением эквивалентности?

6. Как отношение эквивалентности связано с разбиением множества на классы?

7. Какими свойствами должно обладать отношение, чтобы оно являлось отношением порядка?

Практические задания

1.Приведите примеры отношений, существующих между: а) натуральными числами; б) множествами; в) прямыми на плоскости; г) треугольниками.

2.Какие из знаков >, +, ¹, ³, ×, ^, <, Ì, È, =, Î, Þ используются для записи отношений? Укажите множества, в которых обычно рассматриваются эти отношения.

3.Дано множество Х = {2; 3; 4; 5}. Перечислите все элементы декартова произведения X ´ X и выпишите те подмножества этого декартова произведения, которые задают отношение: а) «меньше»; б) «больше», в) «равно».

4.На множестве Х = {3; 6; 9; 12; 15; 18} задано отношение R. Перечислите пары чисел, связанных этим отношением и постройте его граф, если: а) R: «х больше у в 3 раза»; б) R: «х больше у на 3».

5.Задает ли на множестве Х = {2; 4; 6; 8} какое-либо отношение следующее множество упорядоченных пар: а) {(2; 2); (4; 4); (6; 6); (8; 8)}; б) {(4; 2); (6; 4); (8; 6)}?

6.Семья Волковых состоит из отца Михаила Петровича, матери Веры Ивановны и детей: Толи, Кати, Андрея и Оли. Между членами семьи существуют различные отношения родства. Постройте графы отношений: а) «быть дочерью»; б) «быть братом»; в) «быть матерью». Какие еще отношения существуют между членами семьи Волковых?

7. На рисунке дан граф отношения «быть братом» на множестве детей, живущих в одном доме. Кто из детей является девочкой, а кто мальчиком? О ком из ребят по этому графу нельзя ничего сказать?

8.Задайте различными способами какое-либо отношение между элементами множества А = {3; 6; 9; 18; 27}.

9.На множестве натуральных чисел задано отношение Р: «быть делителем». Какие из пар (3; 15), (12; 3), (10; 150), (17; 17), (6; 15), (24; 6), (9; 1) принадлежат отношению Р, а какие – отношению Р ^–1?

10.На множестве отрезков заданы отношения «длиннее», «длиннее в 2 раза», «длиннее на 2 см». Как задать отношения, обратные данным?

11.Постройте граф отношения «легче, чем» между элементами множества {кролик, заяц, собака, поросенок}. Известно, что заяц тяжелее собаки, кролик легче поросенка, а собака тяжелее поросенка. Кто легче: кролик или собака? Кто тяжелее: поросенок или заяц? Кто из животных самый легкий и самый тяжелый?

12.Мы наблюдаем за вертолетом, орлом, дирижаблем и самолетом. Орел находится выше вертолета, вертолет – ниже самолета, но выше дирижабля, а орел – ниже самолета. Постройте граф отношения «быть выше» и выясните, в каком порядке расположились по высоте вертолет, орел, дирижабль и самолет.

13.Из лагеря вышли 5 туристов. Мы назовем их не в том порядке, в котором они идут один за другим: Вася, Галя, Толя, Лена и Миша. Толя идет впереди Миши, Лена – впереди Васи, но позади Миши, Галя – впереди Толи. Кто идет первым и кто идет последним? Кто идет вслед за Мишей и кто идет перед Мишей?

14.В нашем лесу каждый занимается своим делом и этому делу обучает других: одни плетут корзины, другие ловят рыбу. Ремеслу мы научились друг у друга. Кот учился у Выдры, Еж – у Зайца, Лиса – у Волка, Мышь – у Ежа. Бобер учил Волка и Выдру, Заяц – Белку, а Барсук – Зайца. Бобер был учеником Медведя, а Еж – учителем Дятла. Лучше всех плел корзины Еж. Чем занимается Заяц, Дятел, Волк и Лиса? Кто из зверей нашего леса раньше всех научился ловить рыбу и кто плести корзины?

15.Дано множество А = {а; b; с}, между элементами которого задано отношение Т. Постройте граф данного отношения и выясните, какими свойствами оно обладает, если:

а) Т = {(а; а); (b; b); (с; с); (а; b); (а; с); (b; с)};

б) Т = {(а; b); (b; а); (а; с); (с; а); (b; с); (с; b)};

в) Т = {(а; с); (с; а); (b; а)};

г) Т = {(а; а); (а; b); (b; а); (а; с); (с; а)}.

16.Дано множество Е = {а; b; с; d}, между элементами которого имеет место отношение Р, такое что а Р b, а Р а, b Р b, с Р с, с Р d, с Р а, d P d, d P а. Постройте граф данного отношения и выясните, какими свойствами оно обладает.

17.На множестве X = {0; 1; 2; 3} задано отношение S = {(0; 0); (1; 1); (2; 2); (3; 3); (0; 1); (1; 2); (0; 2); (1; 0); (2; 1); (2; 0)}. Определите свойства отношения S и постройте его график.

18.Отношение «быть делителем» задано на множестве Х = {5; 10; 15; 20; 25}. Постройте граф этого отношения и проверьте его свойства.

19.На множестве Х = {3; 5; 7; 9} заданы отношения: Р: «меньше», Т: «меньше на 2», М: «меньше или равно». Постройте графы данных отношений и проверьте их свойства.

20.Каковы свойства отношений «больше в 2 раза» и «больше на 2», заданных на множестве Х = {2; 4; 6; 8; 12}? В чем сходство графов данных отношений?

21.На множестве А = {2; 4; 6; 8; 12} заданы отношения «больше» и «кратно». В чем их сходство и различие?

22.Проверьте все свойства отношения Р, заданного на множестве Х, если:

а) Р: «х и у живут в одном доме», Х – множество людей;

б) Р: «х кратно у», Х – множество натуральных чисел;

в) Р: «х сестра у», Х – множество людей;

г) Р: «отрезок х длиннее у», Х – множество отрезков;

д) Р: «х учитель у», Х – множество людей;

е) Р: «х отец у», Х – множество людей;

ж) Р: «х ниже у», Х – множество людей;

з) Р: «х ³ у», Х – множество натуральных чисел;

и) Р: «быть старше», Х – множество студентов группы.

23.На множестве отрезков заданы отношения Р: «длиннее» и М: «иметь одну и ту же длину». Какое из них является отношением эквивалентности?

24.Х – множество прямых на плоскости. Какие из следующих отношений в множестве Х являются отношениями эквивалентности: а) «прямая х параллельна прямой у»; б) «прямая х перпендикулярна прямой у»; в) «прямая х пересекает прямую у».

25.А – множество точек плоскости, l – прямая на этой плоскости, R – отношение «точки х и у симметричны относительно оси l». Докажите, что R отношением эквивалентности не является.

26.Запишите классы эквивалентности, определяемые отношением Р, заданным на множестве X = {а; b; с; р}, если: а) Р = {(а; а); (b; b); (c; с); (p; p); (а; b); (b; a); (b; c); (c; b); (a; c); (c; a)}; б) P = {(a; a); (b; b); (c; c); (p; p); (a; b); (b; a); (c; р); (р; с)}.

27.В множестве М студентов педагогического факультета задано отношение R – «учиться на одном курсе». Докажите,что R – отношение эквивалентности. На какие классы разобьется множество М этим отношением?

28.На множестве X = {a; b; c; d} задано отношение М. Является ли оно отношением порядка, если: а) М = {(а; b); (а; с); (а; d); (b; с); (d; b)}; б) М = {(а; а); (b; b); (с; с);(d; d); (а; b); (b; с); (а; с)}?

29.На множестве А = {6; 3; 12; 9; 15} задано отношение «быть делителем». Упорядочивает ли оно множество А?

30.Сформулируйте свойства отношений «равно», «меньше», «не больше», «меньше на 2», заданных на множестве Х = {1; 3; 5; 7; 9}, и постройте их графы. Какое из этих отношений является отношением: а) эквивалентности; б) порядка?

31.Какие из следующих отношений являются отношениями эквивалентности, а какие – порядка:

а) иметь большую площадь на множестве прямоугольников;

б) подобие на множестве геометрических фигур;

в) равносильность на множестве уравнений;

г) быть выше по рейтингу на множестве студентов группы?

32.В начальном курсе математики на множестве натуральных чисел рассматриваются отношения «больше», «больше на несколько единиц», «больше в несколько раз», «непосредственно следует за». Какие из них упорядочивают множество натуральных чисел?

Тема 7. Предикаты и операции над ними

Контрольные вопросы по теории

1. Что называется высказывательной формой или предикатом?

2. Какие различают предикаты по числу входящих в них переменных? Приведите примеры.

3. Какое множество называют областью определения предиката?

4. Какое множество называют множеством истинности предиката?

5. Что называют конъюнкцией предикатов? Докажите равенство, связывающее область истинности конъюнкции предикатов с областями истинности этих предикатов.

6. Дайте определения дизъюнкции, отрицания, импликации предикатов. Запишите равенства, связывающие области истинности конъюнкции предикатов с областями истинности этих предикатов.

Практические задания

1.Среди следующих предложений укажите высказывания и предикаты и поясните свой ответ. а) 2 – натуральное число. б) Разность чисел х и 3 равна 7. в) 2³ > 3². г) х = 11 является решением неравенства 2х – 1 > 5. д) 3у + 5 < 12. е) Прямые параллельны. ж) Произведение чисел 2 и 7 равно 15. з) Хотя бы одно из чисел 1, 2, 3 является решением уравнения х² – 1 = 0. и) Число делится на 5. к) Для всех чисел х и у верно равенство х + у = у + х. л) Будьте здоровы! м) Некоторые студенты не выполнили домашнее задание. н) х² – 7х + 2.

2.На множестве Nзадан предикат С (х): «число х – делитель 12». Сформулируйте высказывания С (4), С (5), С (8) и найдите их значения истинности.

3.На множестве Z задан предикат В (у): «у + 3 < 5». Принадлежат ли его множеству истинности числа –2; 10; ?

4.Предикат «х > у» задан на множестве R. Назовите две пары чисел, при подстановке которых в предикат получается: а) истинное высказывание; б) ложное высказывание.

5.Изменится ли множество истинности предиката А (х): «х² – 4х – 5 = 0», если в качестве возможных значений переменной х рассмотреть: а) множество R; б) множество N?

6.Найдите множества истинности следующих предикатов:

а) В (х): «х < 7», х Î N;

б) С (у): «у² > 0», у Î R;

в) D (у): «4 < у £ 8», у Î N;

г) Е (х): «х · у = 6», х, у Î Z.

7.На множестве Z заданы предикаты А (х): «х > 5» и В (х): «х < 9». Сформулируйте конъюнкцию и дизъюнкцию этих предикатов. Прочитайте высказывания А (12) Ù В (12), А (15) Ú В (15) и найдите их значения истинности. Верно ли, что 7 Î Т _{А Ù В}? 7Î Т _{А Ú В}?

8.Укажите значения истинности высказываний А (с) Ú В (с) и А (d) Ú В (d), если известно, что с Î Т _{А Ú В}, а d Ï Т _{А Ú В}.

9.Укажите значения истинности высказываний А (с) Ù В (с) и А (d ) Ù В (d), если известно, что с Ï Т _{А Ù В}, а d Î Т _{А Ù В}.

10.Пусть предикаты А (х) и В (х) заданы на некотором множестве X. Известно, что d Î Х. Сформулируйте условие, при котором: a) d Î Т _{А Ù В}; б) d Ï Т _{А Ù В};в) d Î Т _{А Ú В};г) d Ï Т _{А Ú В}.

11.Известно, что d Î Т_А. Достаточно ли этого для того, чтобы утверждать, что: a) d Î Т _{А Ù В}; б) d Î Т _{А Ú В}?

12.Можно ли утверждать, что d Ï Т _{А Ù В}, зная, что d Ï Т _А ?

13.Можно ли утверждать, что d Ï Т _{А Ú В}, зная лишь, что d Ï Т _В?

14.На множестве А = {1; 2; 3; 4; ...; 20} заданы предикаты А (х): «число х кратно 5», В (х): «число х четное», С (х): «число х кратно 3», D (х): «число х составное». Сформулируйте следующие предикаты и найдите их множества истинности:

а) А (х) Ù В (х);

б) А (х) Ú В (х);

в) С (х) Ù D (х);

г) С (х) Ú D (х);

д) А (х) Ù В (х) Ù D (х);

е) А (х) Ú В (х) Ú D (х);

ж) А (х) Ù С (х) Ù D (х);

з) А (х) Ú С (х) Ú D (х).

15.На множестве X машин заданы предикаты: А (х): «машина х легковая», В (х) «машина х красного цвета», С (х): «номер машины х оканчивается цифрой 3». а) Сформулируйте предикаты А (х) Ú В (х); В (х) Ù С (х); (А (х) Ù В (х)) Ú С (х); б) Докажите, что высказывания a Î Т _{А Ú В} и a Ï Т_{В Ù С} истинны при условии, что а – легковая машина зеленого цвета. в) известно, что машина b принадлежит множеству истинности предиката А (х) Ù В (х) Ù С (х). Охарактеризуйте эту машину; г) докажите, что машина зеленого цвета с номером, оканчивающимся цифрой 4, не принадлежит множеству истинности предиката (А (х) Ù В (х)) Ú С (х).

16.На множестве Z заданы предикаты Е (х): «х 3» и К (х):«число х при делении на 3 дает остаток 1». Найдите значения этих предикатов при х = 4; х = 6, х = 7, х = 9 и х = 10. Сравните их. Можно ли на основании полученных ответов утверждать, что Е (х) и К (х) являются отрицаниями друг друга? Найдите значения истинности высказываний Е (5) и К (5) и проверьте, правилен ли был ваш ответ.

17.На множестве R заданы предикаты D (х): «число х отрицательно» и Е (х): «число х положительно». Сравните значения истинности этих предикатов: а) при х, больших 0; б) при х, меньших 0; в) при х, равном 0. Можно ли на основании ваших ответов утверждать, что Е (х) – отрицание предиката D (х) на множестве R?

18.На некотором множестве X заданы предикаты А (х) и В (х). Известно, что при некотором значении а Î X высказывание А (а) истинно, а В (а) ложно. Следует ли отсюда, что А (х) и В (х) являются отрицаниями друг друга? Приведите пример, подтверждающий ваш ответ.

19.На некотором множестве X заданы предикаты А (х) и В (х). Известно, что при значении а Î Х эти предикаты обращаются в ложные высказывания. Достаточно ли этого, чтобы утверждать, что А (х) и В (х) не являются отрицаниями друг друга?

20.Для каждого из следующих предикатов сформулируйте его отрицание: а) С (х, у): «прямая х параллельна прямой у» (в множестве прямых плоскости); б) D (x, y, z): «у лежит между х и z» (в множестве точек на прямой); в) Е (х): «х > 8», х Î N; г) F (х): «х + 2 = 3», х Î R.

21.На рисунке изображены множества истинности предикатов А (х) и В (x). В каком случае предикаты А (х) и В (x) являются отрицаниями друг друга?

а) б) в)

22.Известно, что Т _А Ç Т _В Ç Т _С ≠ Æ. Заштрихуйте множества истинности следующих предикатов: а) Ù (С (х) Ú В (х)); б) А (х) Ù .

Тема 8. Высказывания с кванторами. Отрицание высказываний, содержащих кванторы

Контрольные вопросы по теории

1. Как можно предикат превратить в высказывание?

2. Приведите примеры слов, которые используются в качестве кванторов общности и существования.

3. Укажите способы установления значения истинности высказываний, содержащих кванторы?

4. Как построить отрицание высказываний, содержащих кванторы?

Практические задания

1.Среди следующих предложений выделите высказывания. а) 7 < х < 9. б) Существует такое натуральное число х, что 7 < х < 9. в) В треугольнике все стороны равны. г) В любом треугольнике все стороны равны. д) х – однозначное число, х Î N. е) Некоторые натуральные числа являются однозначными. ж) у = 5 является решением уравнения у – 4 = 1.

2.Какие из следующих высказываний содержат квантор общности, а какие – квантор существования? а) Все кустарники являются растениями. б) Существуют числа, кратные 3. в) В любом равностороннем треугольнике высоты совпадают с биссектрисами. г) Каждое натуральное число является целым. д) Найдется такое натуральное число х, что х < 3. е) В некоторых городах России число жителей превысило 1 миллион. ж) Хотя бы в одной из групп первого курса есть студенты, окончившие педучилище.

3.Даны предикаты: А (х): «студент х является отличником»; Е (х): «растение х – травянистое». Образуйте из них всевозможные высказывания при помощи кванторов общности и существования.

4.Прочитайте следующие высказывания: а) ($ п Î N) п 3; б) ("п Î N) п 7; в) ($ п, т Î N) п т; г) ("п Î N) ($ т Î N) п т.

5.Даны двухместные предикаты: Р(а, b): «прямая а параллельна прямой b»; Q (а, a): «прямая а лежит в плоскости a»; а) S (b, a): «прямая b параллельна плоскости a». Сформулируйте высказывания, имеющие следующую структуру:

a) ("a) ($ а) Q (а, a);

б) ("a) ($ b) S (b, a);

в) ($ а) ($ b) Р (а, b);

г) ($ b) ("a) S (b, a).

6.Запишите следующие предложения, используя символические обозначения кванторов.

а) Существует такое натуральное число х, что х + 5 = 9.

б) Каково бы ни было число х, х + 0 = х.

в) При некоторых натуральных значениях у имеет место равенство 3 – у = у – 1.

г) Любое действительное число х является решением неравенства х – 2 + 3 > 0.

д) Для любого значения х найдется такое значение у, что х – 5 = у.

е) Существуют такие натуральные числа с и d, что с · d = 6.

ж) Для любых действительных чисел х и у существует такое действительное число z, что x < z < y.

7.Среди следующих предложений укажите высказывания:

а) ("х Î R) х + у = 5;

б) ("х Î R) ("y Î R) х + у = 5;

в) ($ y Î R) ("х Î R) х + у = 5;

г) ("х Î R) ($ y Î R) х + у = 5;

д) ($ y Î R) х + у = 5;

е) ($ х Î R) ($ y Î R) х + у = 5.

8.Сформулируйте каждое из следующих высказываний в виде конъюнкции и найдите их значения истинности. а) Каждое из чисел 1, 2, 4 является корнем уравнения (х – 1) (х – 2) (х – 4) = 0. б) Все элементы множества X = {1; 2; 3; 4; 5; 6} кратны 2. в) Названия всех частей света начинаются с гласной буквы.

9.Сформулируйте каждое из следующих высказываний в виде дизъюнкции и найдите их значения истинности. а) Среди чисел 21, 13, 44, 48 найдется число, кратное 3. б) Хотя бы одно из растений: тополь, клен, ель, боярышник – является деревом. в) Существует однозначное натуральное число, являющееся решением уравнения х² =121.

10.Какие из следующих высказываний равносильны конъюнкции, а какие – дизъюнкции высказываний?

а) Все студенты нашей группы присутствовали сегодня на занятиях.

б) Некоторые натуральные числа меньше 3.

в) Существуют четные числа.

г) Любой четырехугольник является квадратом.

д) Всякий параллелограмм есть ромб.

е) Найдутся треугольники, в которых одна из высот совпадает с медианой и биссектрисой.

ж) Хотя бы одно из чисел 13, 16, 21, 25, 44 является квадратом целого числа.

11.Найдите значения истинности следующих высказываний: а) Все числа множества X = {87, 89, 99, 100) двузначные. б) Каждое из множеств А = {1, 2, 3, 4}, В = {2}, С = {1, 3, 5} конечно. в) Хотя бы одно из множеств D = {а, м}, Е = {е, и, к}, F = {с, д, л, м} является подмножеством множества К = {а, б, в, г, д}. г) Некоторые из выражений 5 : 2, 5 + (7 – 8), 7: (4 – 1 – 3), 16 – (25 + 4) не имеют смысла на множестве N.

12.Известно, что высказывание ($ х Î X) А (х) истинно. Следует ли отсюда истинность высказывания ("х Î X) А (х)?

13.Следует ли истинность высказывания ($ х Î X) А (х) из истинности высказывания ("х Î X) А (х)?

14.Для доказательства каких из следующих утверждений необходимо провести рассуждения в общем виде, а для каких – достаточно привести пример?

а) В любом параллелограмме сумма величин противоположных углов равна 180°.

б) Найдется ромб, диагонали которого равны.

в) В некоторых треугольниках все высоты делят противоположную сторону пополам.

г) Для любого натурального числа п имеет место неравенство п² + 1 > 0.

д) Существуют тупоугольные треугольники.

е) Любое число, делящееся на 4, делится на 2.

15.Какие из следующих высказываний можно опровергнуть, приведя контрпример?

а) Все натуральные числа больше 2.

б) Любая фигура имеет центр симметрии.

в) Некоторые натуральные числа меньше нуля.

16.Докажите или опровергните следующие утверждения.

а) Разность любых двух натуральных чисел есть число натуральное.

б) Существуют правильные многоугольники.

в) Сумма любых трех последовательных чисел кратна 3.

г) Любое однозначное число является решением неравенства 2х – 25 < 0.

д) В некоторых параллелограммах диагонали не равны.

е) Среди чисел 15, 16, 27, 212 найдется хотя бы одно, кратное 7.

ж) Во всяком четырехугольнике диагонали равны.

з) Существуют числовые выражения, значения которых нельзя найти.

17.Образуйте отрицания следующих высказываний:

а) Некоторые глаголы отвечают на вопрос «что делать?»

б) Все однозначные числа больше 5.

в) Существует натуральное число, являющееся решением уравнения х + 3 = 0.

г) Некоторые геометрические фигуры являются ромбами.

д) Любое дерево есть растение.

е) Каждый треугольник является равнобедренным.

ж) Хотя бы одно из целых чисел превышает число 102 172.

з) Все студенты группы живут в общежитии.

и) Некоторые студенты группы не старше 20 лет.

к) Все студенты группы справились с контрольной работой по математике.

л) По крайней мере один из студентов является отличником.

18.Сформулируйте отрицания следующих высказываний и установите, что истинно – само высказывание или его отрицание:

а) Некоторые параллелограммы имеют центр симметрии и ось симметрии.

б) Все числа положительны или отрицательны.

в) Всякий параллелограмм является прямоугольником или ромбом.

г) Некоторые числа кратны 2 и 7.

19.Переформулируйте данные предложения так, чтобы они не содержали слов «неверно, что», но имели тот же смысл:

а) Неверно, что каждый четырехугольник является прямоугольником или трапецией.

б) Неверно, что хотя бы в одном прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны или делятся точкой пересечения пополам.

20.Сформулируйте предложения, которые начинаются словами «неверно, что» и имеют тот же смысл, что и данные:

а) Существуют прямые, которые не параллельны и не перпендикулярны.

б) Стороны любого четырехугольника не параллельны или не равны.

21.Опровергните следующие высказывания, доказав истинность их отрицаний: а) Любой параллелограмм есть ромб. б) Среди чисел множества X = {3, 5, 8, 12, 17} найдется хотя бы одно трехзначное. в) Каждое натуральное число имеет предшествующее.

Тема 9. Отношение следования и равносильности между предложениями. Строение и виды теорем

Контрольные вопросы по теории

1. Что значит предикат В (х) следует из предиката А (х)? В каком отношении находятся множества истинности этих предикатов?

2. В каком случае предикат А (х) будет являться необходимым условием для предиката В (х), достаточным условием для В (х)?

3. В каком случае предикаты А (х) и В (х) будут равносильны?

4. Какое утверждение называется теоремой?

5. Для теоремы вида А (х) Þ В (х) запишите обратное, противоположное, обратное противоположному предложения. В каком случае полученные предложения будут являться теоремами?