1.Запишите следующие высказывания при помощи символа =>: а) А (х) следует из В (х), б) из С (х) следует D (х).
2.На множестве X = {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} заданы предикаты А (х): «х делится на 4» и В (х): «х делится на 2». Найдите значения истинности высказываний А (а) и В (а) при каждом из значений а Î Х. На основании полученных результатов выясните, истинно ли высказывание «Из А (х) следует В (х)». Можно ли утверждать, что истинно высказывание «Из В (х) следует А (х)»?
3.На множестве X = {1; 2; 3; ...; 9} заданы предикаты А (х): «х > 2», В (х): «х > 8», С (х): «х – нечетное число». Найдите множества истинности каждого из предикатов и докажите, что на множестве X: а) предикат А (х) следует из предиката В (х); б) из предиката В (х) следует предикат С (х).
4.На множестве R заданы предикаты Е (х): «х – 2 = 0» и F (х): «х2 – 4 = 0». Найдите множества истинности этих предикатов и выясните, в каком отношении они находятся. Можно ли утверждать что F (х) следует из Е (х) на множестве N?
5.Известно, что предикат В (х) следует из предиката А (х) на множестве R. Можно ли утверждать, что предикат В (х) будет следовать из предиката А (х) на множестве N?
6.Докажите, что каждое из нижеприведенных утверждений истинно. а) Если число натуральное, то оно положительное. б) Если число кратно 10, то оно кратно 5. в) Если треугольник прямоугольный, то он не равносторонний.
7.Докажите, что каждое из нижеприведенных утверждений ложно. а) Если треугольник равнобедренный, то он равносторонний. б) Если треугольник прямоугольный, то он равнобедренный. в) Если треугольник равнобедренный, то он остроугольный.
8.Выясните, какие из следующих высказываний истинны, а какие ложны:
9.Установите, находятся ли данные пары предикатов в отношении следования:
а) А (х): «треугольник х – равносторонний», В (х): «треугольник х – равнобедренный»;
б) А (х): «в четырехугольнике х диагонали равны», В (х): «четырехугольник х – прямоугольник»;
в) А (х): «четырехугольник х – квадрат», В (х): «четырехугольник х – ромб»;
г) А (х): «треугольник х – прямоугольный», В (х): «треугольник х – равнобедренный».
10.Приведите примеры предикатов, которые находятся в отношении следования на одном множестве и не находятся на другом.
11.Известно, что высказывания А (х) => В(х) и В(х) => А(х) истинны. Какими являются предикаты А (х) и В(х)? В каком отношении находятся множества ТА и ТВ?
12.Найдите множества истинности предикатов А (х): «х делится на 3» и В (х): «сумма цифр в записи числа х кратна 3», заданных на множестве X = {3; 5; 7; 8; 9; 11; 13; 15}, и выясните, в каком отношении они находятся. Будут ли предикаты А (х) и В (х) равносильны на множестве X?
13.Равносильны ли следующие предложения А (х) и В (х), если: а) А (х) – «число делится на 9», В (х) – «сумма цифр в записи числа делится на 9». б) А (х) – «каждое слагаемое суммы делится на 4», В (х) – «сумма делится на 4»?
14.Известно, что при некотором значении а Î X предикат А (х) обращается в истинное высказывание, а предикат Q (х) – в ложное. Достаточно ли этого, чтобы утверждать, что предикаты А (х) и Q (х) не равносильны на множестве X?
15.В каждое из нижеприведенных высказываний вместо многоточия вставьте термин «необходимо» или «достаточно», чтобы получившееся высказывание было истинным: а) Если А (х) => В (х), то А (х) ... для В (х), а В (х) ... для А (х); б) Если В (х) => А (х), то А (х) ... для В (х), а В (х) ... для А (х).
16.Запишите следующие высказывания, используя символ =>: а) Р (х) – достаточное условие для Q (х); б) Q (х) – достаточное условие для Р (х); в) Р (х) – необходимое условие для Q (х); г) Q (х) – необходимое условие для Р (х).
17.Запишите следующие предложения, используя символ => или <=>: а) Для того чтобы имело место С (х), необходимо, чтобы выполнялось Е (х). б) Для того чтобы имело место С (х), достаточно, чтобы выполнялось Е (х). в) Для того чтобы имело место С (х), достаточно и необходимо, чтобы выполнялось Е (х).
18.Каждую из следующих теорем сформулируйте при помощи терминов «достаточно», «необходимо»: а) Если каждое слагаемое делится на данное число, то и сумма делится на данное число. б) Если наклонные, проведенные из одной точки к одной и той же прямой, равны, то равны и их проекции.
19.Сформулируйте высказывания со словом «следует»:
а) Равенство двух чисел есть достаточное условие равенства их квадратов.
б) Наличие прямого угла в четырехугольнике необходимо для того, чтобы четырехугольник был квадратом.
в) Делимость числа на 2 необходима для того, чтобы число разделилось на 4».
г) Равенство числителя дроби нулю достаточно для того, чтобы вся дробь равнялась нулю.
20.Какие из нижеприведенных высказываний истинные:
а) Для того чтобы число делилось на 3, достаточно, чтобы оно делилось на 6.
б) Для того чтобы число делилось на 3, необходимо, чтобы оно делилось на 6.
в) Для того чтобы число делилось на 100, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 10.
г) Для того чтобы число делилось на 10, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 2 и на 5?
21.Вместо многоточия вставьте термины «необходимо», «достаточно» или «необходимо и достаточно»:
а) Для того чтобы сумма двух чисел равнялась второму слагаемому, ..., чтобы первое слагаемое было равно нулю
б) Для того чтобы 5а было равно нулю, ..., чтобы a = 0.
в) Для того чтобы ab = 0, ..., чтобы a = 0.
г) Чтобы произведение двух чисел равнялось нулю, …, чтобы хотя бы одно из них равнялось нулю.
д) Чтобы произведение двух чисел равнялось нулю, … чтобы каждое из них равнялось нулю.
е) Для того чтобы сумма двух чисел была числом четным, …чтобы каждое слагаемое было четным числом.
ж) Чтобы сумма трех чисел была числом нечетным, … чтобы хотя бы одно из них было числом нечетным.
з) Для того чтобы разность двух чисел была четной, чтобы обе компоненты вычитания были четными.
и) Чтобы произведение двух чисел было числом нечетным, … чтобы каждое из них было числом нечетным.
к) Чтобы произведение двух чисел было числом четным, … чтобы хотя бы одно из них было числом четным.
л) Для того чтобы число делилось на 10, … чтобы оно делилось на 5.
м) Для того чтобы число делилось на 30, … чтобы оно делилось на 3 и на 10.
н) Для того чтобы число делилось на 20, … чтобы оно делилось на 2 и на 10.
о) Для того чтобы четырехугольник был квадратом, … чтобы все его стороны были равны.
п) Для того чтобы прямоугольник был квадратом, … чтобы все его стороны были равны.
р) Для того чтобы два квадрата имели одну и ту же площадь, ..., чтобы стороны их были равны.
с) Для того чтобы площадь прямоугольника была равна 48 см2, … чтобы его длина была равна 24 см, а ширина 2 см.
т) Для того чтобы объем куба был равен 27 см3, … чтобы его ребро было равно 3 см.
22.Каждую из следующих теорем разбейте на две так, чтобы одна из них выражала прямую, а другая – обратную теорему. Укажите, какая из двух выделенных вами теорем выражает достаточность условия, а какая – необходимость.
а) Для того чтобы четырехугольник был параллелограммом, необходимо и достаточно, чтобы его противоположные стороны были равны.
б) Для того чтобы х3 = у3, необходимо и достаточно, чтобы х = у.
в) Для того чтобы натуральное число делилось на 9, необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр его десятичной записи делилась на 9.
23.Выделите условие и заключение в следующих теоремах: а) если треугольники подобны, то их высоты относятся как сходственные стороны; б) если многоугольник правильный, то в него можно вписать окружность; в) если две прямые перпендикулярны к одной и той же прямой, то они параллельны.
24.Сформулируйте следующие теоремы в виде «Если..., то...», выделяя в каждой из них условие и заключение.
а) Перпендикуляр к одной из двух параллельных прямых есть также перпендикуляр к другой.
б) Всякий параллелограмм имеет центр симметрии.
в) Дуги, заключенные между равными хордами, равны.
г) Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
д) Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой.
е) Симметричные относительно оси фигуры равны.
25.В следующих теоремах выделите условие и заключение:
а) Для того чтобы разность двух чисел делилась на 2, достаточно, чтобы на 2 делились уменьшаемое и вычитаемое.
б) Для того чтобы четырехугольник был квадратом, необходимо, чтобы хотя бы один из его углов был прямым.
в) Для того чтобы четырехугольник был параллелограммом, необходимо, чтобы его противоположные стороны были попарно равны.
26.Для каждого из следующих предложений сформулируйте обратное, противоположное, обратное противоположному и установите, будет оно верным или нет:
а) Если углы вертикальны, то они равны.
б) Если диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны, то четырехугольник является ромбом.
в) Если прямоугольник является квадратом, то его диагонали взаимно перпендикулярны и делят углы пополам.
г) Если у параллелограмма диагонали равны, то он является прямоугольником или квадратом.
д) Если каждое слагаемое является четным числом, то и сумма – четное число.
е) Если произведение двух натуральных чисел делится на 6, то хотя бы один из множителей делится на 6.
ж) Сумма трех нечетных чисел является нечетным числом.
з) В равностороннем треугольнике все углы равны.
Тема 10. Математические понятия
Контрольные вопросы по теории
1. Какие свойства считают существенными и несущественными для объекта?
2. Что понимают под объемом понятия?
3. Что понимают под содержанием понятия?
4. В каком отношении находятся объемы понятий, если понятия несовместимы, совместимы, тождественны, одно понятие является видовым по отношении к другому понятию?
5. Что значит – определить понятие?
6. Какие определения относят к явным и неявным?
7. Какие правила необходимо соблюдать, формулируя определения понятий через род и видовое отличие?
2. Укажите какие-нибудь свойства, присущие всем параллелограммам. Какие из названных вами свойств принадлежат и другим фигурам?
3. Назовите несколько свойств, входящих в содержание понятия: а) «правильный многоугольник»; б) «ломаная линия»; в) «прямоугольник»; г) «ромб»; д) «биссектриса угла»; е) «треугольник».
4. Какие из следующих свойств входят в содержание понятия «трапеция», а какие – нет? а) Иметь пару равных сторон; б) иметь пару параллельных сторон; в) иметь все равные углы; г) иметь равные диагонали.
5. Назовите свойства: а) присущие и прямоугольнику, и ромбу; б) присущие прямоугольнику и не присущие ромбу; в) присущие ромбу и не присущие прямоугольнику.
6. Назовите фигуру со следующими свойствами: а) иметь 4 вершины; б) иметь 2 пары параллельных сторон; в) иметь 4 равные стороны; г) иметь 4 стороны и прямой угол.
7. Какие из следующих понятий являются совместимыми, а какие – несовместимыми:
а: «четное число»,
b: «нечетное число»,
с: «число, кратное 3»,
d: «двузначное число» ?
8. Изобразите отношения между объемами следующих понятий на кругах Эйлера:
9.Приведите примеры понятий, отношения между которыми могут быть изображены с помощью кругов Эйлера, приведенных на рисунке.
С С С С
а) б) в) г)
10.Укажите три понятия, являющиеся родовыми по отношению к понятию «прямоугольник». Какое из них является ближайшим?
11.Для каждого из следующих понятий укажите ближайшее родовое понятие: а) хвойное дерево; б) имя существительное; в) квадрат; г) биссектриса угла; д) нечетное число; е) окружность.
12.Назовите понятие, являющееся родовым по отношению к данной группе понятий: а) квадрат, трапеция, ромб; б) круг, окружность, многоугольник, отрезок; в) деревья, кустарники, травы.
13.Для каждого из следующих понятий укажите видовое понятие: а) животное; б) растение; в) многоугольник; г) параллелограмм; д) дерево; е) часть речи.
14.Назовите несколько свойств, общих для прямоугольника и квадрата. Выясните, какое из высказываний истинно: «всякое свойство прямоугольника присуще квадрату»; «всякое свойство квадрата присуще прямоугольнику». В каком отношении находятся содержания понятий «прямоугольник» и «квадрат» и их объемы?
15.Может ли одно и то же понятие быть родовым по отношению к некоторому понятию а и видовым по отношению к понятию b?
16.Находятся ли в отношении рода и вида следующие пары понятий: а) многоугольник и треугольник; б) угол и острый угол; в) луч и прямая; г) ромб и квадрат; д) круг и окружность; е) отрезок и прямая?
17.Можно ли отождествить понятия: а) число и цифра; б) окружность и граница круга; в) выражение и значение выражения?
18.Среди понятий, изучаемых в начальном курсе математики, есть такие, как «четное число», «треугольник», «многоугольник», «число», «трехзначное число», «прямой угол», «сумма», «слагаемое», «выражение». Есть ли среди них понятия, находящиеся в отношении: а) рода и вида; б) целого и части?
19.В следующих определениях выделите определяемое и определяющее понятия, родовое понятие (по отношению к определяемому) и видовое отличие:
а) Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
б) Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется его средней линией.
20.Назовите все свойства, которые содержатся в видовом отличии каждого из следующих определений:
а) Биссектрисой угла называется луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам.
б) Прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
21.Дайте определения следующих понятий: а) четырехугольник; б) прямоугольник; в) ромб; г) равнобедренный треугольник; д) равносторонний треугольник; е) трапеция. Выделите в каждом из определений родовое понятие и видовое отличие.
22.Дайте определение понятия «квадрат», указав в качестве родового понятия понятие: а) «прямоугольник», б) «ромб».
23.Можно ли при помощи свойства «иметь прямой угол» выделить подмножество квадратов из множества: а) четырехугольников б) ромбов; в) параллелограммов? Если нет, то укажите свойства, при помощи которых это можно сделать.
24.Сформулируйте определение трапеции. Пользуясь им, сформулируйте условие, при котором: а) четырехугольник будет являться трапецией: б) четырехугольник не будет являться трапецией.
25.Учащийся определил прямой угол как угол, стороны которого взаимно перпендикулярны, а взаимно перпендикулярные прямые как прямые, образующие при пересечении прямые углы. Какую ошибку допустил учащийся?
26.Есть ли логические ошибки в следующих определениях? Исправьте их.
а) Прямоугольником называется четырехугольник, у которого противоположные стороны равны.
б) Прямоугольник – это когда все углы прямые.
в) Биссектрисой угла называется прямая, делящая угол пополам.
г) Диаметром круга называется хорда, проходящая через центр круга.
д) Сложением называется действие, при котором числа складываются.
е) Простое число – это когда оно имеет только два натуральных делителя.
ж) Равносторонним треугольником называется треугольник, у которого равны все стороны и все углы.
з) Луч – это прямая, ограниченная с одной стороны.
и) Параллелограммом называется многоугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
к) Отрезок – это прямая, ограниченная с двух сторон.
л) Касательной к окружности называется прямая, которая касается окружности.
м) Остроугольным треугольником называется треугольник, у которого есть острый угол.
27.Какие из следующих обоснований правильны, а какие – нет: а) треугольник АВС не равнобедренный, так как АВ ¹ ВС; б) треугольник ABC не равнобедренный, так как АВ ¹ ВС и ВС ¹ АС; в) треугольник ABC не равнобедренный, так как АВ ¹ ВС; ВС ¹ АС и АВ ¹ АС.
28.Учащийся по аналогии с определением остроугольного треугольника сформулировал такое определение остроугольного четырехугольника: «Остроугольным четырехугольником называется выпуклый четырехугольник, все углы которого острые». Можно ли считать это определение правильным?
29.Понятие «противоположные стороны прямоугольника» в начальном курсе математики можно определить так: «Красным цветом обозначены две противоположные стороны прямоугольника, а синим цветом – две другие противоположные стороны» (все это показано на рисунке). Какой способ определения понятия использован?
30.Понятие «трехзначное число» вводится в начальных классах так: учащимся предлагается ответить на вопрос: «Сколько всего цифр (знаков) используется для записи каждого из чисел: 573, 982, 700, 403, 777, 585?» затем учитель делает заключение: «Это трехзначные числа». Каким образом в этом случае определено понятие трехзначного числа?
31.Выясните, каким способом определяются в различных учебниках по математике для начальных классов понятия: а) выражение; б) сумма; в) слагаемое; г) четное число; д) периметр; е) однозначное число.
32.Приведите примеры генетических и индуктивных определений из курса алгебры.
Тема 11. Математическое доказательство
Контрольные вопросы по теории
1. Что называется умозаключением?
2. Какое умозаключение называется дедуктивным?
3. Дайте определения неполной и полной индукции.
4. Дайте определение умозаключения по аналогии.
5. Запишите схемы дедуктивных умозаключений и докажите тождественную истинность формул, лежащих в основе этих правил.
6. Как проверить правильность умозаключений с помощью кругов Эйлера? Какие еще известны способы проверки правильности умозаключений?
7. Какое умозаключение называется софизмом?
8. Что значит доказать утверждение?
9. Какие доказательства различают по способу ведения?
10. Опишите способы ведения рассуждения при различных формах прямого и косвенного доказательства.
2 => х 
