Общие понятия математики: Материалы к практическим занятиям по математике. – Глазов: ГГПИ, 2007. – с.
Составители: ст. преподаватель кафедры МНО Г.В. Керова,
ст. преподаватель кафедры МНО О.А. Сальникова
Рецензент:
В пособии представлен материал для использования на практических занятиях по математике и в самостоятельной работе студентов, обучающихся по специальности «Педагогика и методика начального образования». В нем содержится достаточное количество заданий, выполнение которых позволит студентам в полной мере овладеть теоретическими основами начального курса математики.
Ó Глазовский государственный педагогический институт, 2007
Тема 1. Высказывания и операции над ними
Контрольные вопросы по теории
1. Какие предложения называются высказываниями?
2. Какие высказывания называют элементарными, а какие – составными?
3. Сформулируйте определения отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквиваленции высказываний и составьте для данных операций над высказываниями таблицы истинности.
4. Какие высказывания называют равносильными?
5. Каким законам подчиняются операции над высказываниями?
Практические задания
1.Среди данных предложений найдите высказывания: а) Когда заканчиваются летние каникулы? б) Учебный год в России начинается 1 сентября. в) Какая красота! г) Ижевск – столица Удмуртии. д) Сумма пяти и трех. е) Семью восемь – сорок восемь. ж) Студент отсутствует на занятии по математике. з) Всякий человек имеет брата. и) Сумма числа х и числа 3 равна 7. к) Любой квадрат – прямоугольник.
2.Найдите значения истинности следующих высказываний:
3.В следующих составных предложениях выделите составляющие их элементарные предложения и логические связки: а) в равнобедренном треугольнике АВС биссектриса ВD является медианой и высотой; б) 2 5; в) если запись числа оканчивается цифрой 5, то число делится на 5; г) число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3; д) число 23 не делится на 5; е) если а · b = 0, то а = 0 или b = 0; ж) если число делится на 2 и на 3, то оно делится на 6.
4.Из элементарных высказываний А: «Завтра будет дождь», В: «Мы пойдем в кино», С: «Завтра будет солнечно», D: «Завтра занятия начнутся раньше обычного» образованы составные высказывания. Запишите данные составные высказывания, используя символы. а) Если завтра будет дождь, то занятия начнутся раньше обычного, и мы пойдем в кино. б) Завтра будет солнечно или будет дождь, и занятия начнутся раньше обычного. в) Завтра занятия начнутся раньше обычного, и мы пойдем в кино в том и только в том случае, если не будет дождя и будет солнечно.
5.Из предложений «Треугольник АВС равнобедренный» и «Треугольник АВС равносторонний» образуйте составные при помощи логических связок «и», «неверно, что», «или», «если..., то».
6.Даны высказывания: А: «Сегодня температура воздуха ниже 0° С», В: «Сегодня ясно», С: «Я пойду кататься на лыжах» и D: «Я пойду кататься на коньках». Сформулируйте высказывания, имеющие структуру: а) А Ù В; б) С Ú D; г) А Ù (С Ú D); в) А Ù В Ù (С Ú D); д) ; е) .
7.Приведите примеры высказываний, имеющих структуру вида: а) А Ù В; б) А Ú В; в) А ® В; г) .
8.Определите значения истинности каждого высказывания: а) число 15 делится на 5 и на 3; б) число 23 делится на 2 или на 3; в) = 2 или = – 2; г) 5 5; д) –2 < 3 < 1; е) 4 5 9.
9.Выясните, в каких случаях можно найти значения истинности высказываний А Ù В и А Ú В, если: а) А – «и»; б) А – «л».
10.Выясните, в каких случаях приведенные ниже данные противоречивы: а) А – «и», А Ù В – «л»; б) А – «и», А Ú В – «л»; в) А – «и», А Ù В – «и»; г) А – «и», А Ú В – «и»; д) А – «л»; А Ù В – «и»; е) А – «л», А Ú В – «и»; ж) А – «л», А Ù В – «л»; з) А – «л», А Ú В – «л».
11.Выясните, в каких случаях можно установить значение истинности высказывания В: а) А Ù В – «и»; б) А Ú В – «и»; в) А Ù В –«л»; г) А Ú В – «л»; д) А Ù В – «л», А – «и»; е) А Ú В – «и», А – «л».
12.Сформулируйте высказывания, которые являются отрицаниями данных высказываний и укажите, истинно само высказывание или его отрицание: а) я выполнил домашнее задание по математике; б) в январе 31 день; в) число 27 делится на 7; г) 3 + 3 = 6; д) число 35 – четное; е) 32 < 23.
13.Объясните, почему высказывания каждой из нижеприведенных пар не являются отрицаниями друг друга: а) «четырехугольник АВСМ – параллелограмм» и «четырехугольник АВСМ – трапеция»; б) «угол С – острый» и «угол С – тупой».
14.Высказывания А и В таковы, что они не могут быть одновременно истинными. Следует ли отсюда, что высказывание А является отрицанием высказывания В? Ответ поясните на примере.
15.Известно, что если высказывание А истинно, то высказывание В ложно. Можно ли на основании этого утверждать, что если А ложно, то В истинно? Приведите пример, подтверждающий ваш ответ.
16.Сформулируйте отрицания следующих высказываний:
а) сегодня наша группа занимается зоологией и иностранным языком;
б) контрольная работа по математике состоится во вторник или в среду;
в) четырехугольник АВСD – прямоугольник или параллелограмм;
г) число 12 – четное и делится на 3;
д) треугольник ABC прямоугольный и равнобедренный;
е) число 25 не делится ни на 3, ни на 4;
ж) четырехугольник ABCD не является ни прямоугольником, ни ромбом;
з) 2 ³ 3.
17.Найдите значение истинности высказывания Ú В Ù С на основании следующих данных: а) В – «и», С – «и»; б) А – «л»; в) А – «и», В – «л»; г) А – «и», С – «л».
18.Можно ли сделать вывод об истинности или ложности высказывания А Ù ( Ú С), зная лишь, что: а) А – «л»; б) С – «и»; в) А – «и», В – «л»; г) В – «л», С – «и»?
19.По окончании учебного года Лена сказала подругам, что осенью она начнет заниматься в хореографическом кружке и поступит на курсы французского или испанского языков. В сентябре, когда подруги вновь встретились, выяснилось, что Лена не занимается в хореографическом кружке, но зато изучает оба языка. Выполнила ли Лена свое обещание? Если вы считаете, что нет, то перечислите все возможные случаи, в которых высказывание Лены будет истинным.
20.Даны высказывания А: «Четырехугольник АВСК – параллелограмм» и В: «Диагонали четырехугольника АВСК в точке пересечения делятся пополам». Сформулируйте высказывания, соответствующие следующим формулам: а) А Þ В; б) .
21.В следующих составных высказываниях выделите составляющие их элементарные высказывания; укажите среди них истинные импликации: а) если число 48 кратно 8, то оно кратно 4; б) если – 3 < –1, то 32 = 6; в) если 23 = 10, то у собаки четыре ноги; г) если 2 · 2 = 5, то ведьмы существуют.
22.В каждой из следующих импликаций выделите условие и заключение и сформулируйте отрицание импликации: а) Если идет дождь, то мостовая мокрая. б) Если я опоздал на работу, то мне объявят выговор. В) Если ученика перевели в следующий класс, то он получил по всем предметам отличные отметки.
23.Даны высказывания А: «Число 729 кратно 9» и В: «Сумма цифр числа 729 кратна 9». Сформулируйте высказывания: а) А Þ В; б) ВÞ А; в) А Û В. Укажите среди них истинные.
24.Даны высказывания: А: «Сегодня ясно», В: «Сегодня идет дождь», С: «Сегодня понедельник», D: «Я пойду в гости». Сформулируйте высказывания, имеющие следующую логическую структуру: а) А Ù ; б) ; в) ; г) D Û С; д) (А Ù В) Þ D.
25.Составьте таблицы истинности для следующих высказываний: а) А Ù ; б) Þ В; в) (А Þ )Ú (В Þ А); г) (А Ú В)Ù ; д) А Þ (В Ú С); е) ( ) Ú (А Þ С).
26.Докажите тождественную истинность формул, используя таблицу истинности и законы операций над высказываниями:
а) ((А Þ В) Ù А) Þ В;
б) ((А Ú В) Ù ) Þ А;
в) А Þ (В Þ (А Ù В));
г) ((А Þ (В Ù ))Þ .
27.Докажите равносильность формул, используя таблицу истинности и законы операций над высказываниями:
а) А Ù ( Ú ) А Ù ;
б) ( Ù ) Ú ( ÙВ) ;
в) (А Ù В) Þ С º Ú Ú С;
г) (А Þ В) Ù (А Þ С) º А Þ (В Ù С).
Тема 2. Множества и операции над ними
Контрольные вопросы по теории
1. Что понимают под множеством?
2. Как называют объекты, из которых образовано множество?
3. Какое множество называют пустым?
4. Какие множества называют конечными и бесконечными?
5. В каком случае считают, что множество задано?
6. Укажите способы задания множеств.
7. В каком случае множество А является подмножеством множества В?
8. Какие подмножества называют собственными и несобственными?
9. Какие множества называют равными?
10. Сформулируйте свойство равенства множеств.
11. Какое множество называют пересечением, объединением, разностью множеств, дополнением одного множества до другого, дополнением множества до универсального?
Практические задания
1. Как называют: а) множество овец; б) множество лошадей; в) множество пчел, летящих вместе; г) множество футболистов, собравшихся вместе; д) множество кораблей, плывущих вместе; е) множество артистов, работающих в одном театре?
2. Приведите примеры множеств, о которых можно сказать одним словом.
3. Даны множества: А = {а; е; и; о; у; э; ы; ю; я}, В = {111; 222; 333; 444; 666; 777; 888; 999}, С = {2; 4; 6; 8}. Задайте каждое из них описанием характеристического свойства элементов.
4. Задайте следующие множества перечислением: а) множество различных букв в слове «головоломка»; б) множество различных цифр в числе 134 433 154.
5. Прочитайте следующие записи и перечислите элементы каждого из множеств: А = {х½ хÎN, х < 5}; В = {х½ хÎN, – 1 < х <7}; С = {х½ х Î N, х2 = 4}; D = {х½ х Î R, х2 = 2}.
6. Запишите множество К, элементами которого являются натуральные числа, меньшие 7, используя символические записи характеристического свойства и перечисления элементов множества. Верно, ли, что: а) 5 Î К; б) 0 Î К; в) 7 Ï К?
7. Даны числа 19; ; 0; –27; 5,4; . Какие из них принадлежат множеству: а) целых чисел; б) целых неотрицательных чисел; в) рациональных чисел; г) действительных чисел?
8. Какие из записей верны: а) 129 Î N; б) 0 Î N; в) 1,23 Ï N; г) – 2,34 Ï Z; д) Ï Q; е) – 1,67 Î R?
9. Изобразите на координатной прямой следующие множества:
14. Приведите примеры конечных и бесконечных множеств.
15. Изобразите множества М = {1; 3}, К = {5; 7}, L = {1; 3; 5; 8}, Р = {5; 7} на кругах Эйлера и выясните, в каком отношении каждое из них с другими множествами.
16. Установите, в каком отношении находятся множества В и С, если:
а) В = [3; 5], С = [4; 6];
б) В = (7; + ), С = [8; 12);
в) В = (- ; 0], С = [0; 7);
г) В = [-5; -1), С = (-1; 6].
17. А – множество параллелограммов, В – множество прямоугольников, С – множество квадратов. Докажите, что В Ì А и С Ì В. Изобразите данные множества при помощи кругов Эйлера.
18. Установите отношения между множествами А, В и С и изобразите их при помощи кругов Эйлера, если:
а) А – множество четных натуральных чисел, В – множество натуральных чисел, кратных 10, С – множество натуральных чисел, кратных 5;
б) А – множество треугольников, В – множество прямоугольных треугольников, С – множество равносторонних треугольников;
в) А – Множество треугольников с углом 45о, В – множество равнобедренных треугольников, С – множество равносторонних треугольников;
г) А – множество ромбов, В – множество пятиугольников, С – множество многоугольников, содержащих угол 60о.
19. Изобразите при помощи кругов Эйлера множества: А – равнобедренных треугольников, В – остроугольных треугольников, С – прямоугольных треугольников, D – равносторонних треугольников.
20. Приведите примеры множеств А, В и С, изображенных на диаграмме:
а) А В б) В в) С
А
С
21. Даны множества А и В. Сформулируйте условия, при которых .
22. Образуйте все подмножества множества К = {р; r; s; t}. Сколько их получилось?
23. Сколько элементов в множестве, которое имеет 32 подмножества? 128 подмножеств?
24. Существует ли такое множество, которое: а) имеет всего 80 подмножеств? б) не имеет ни одного подмножества?
25. Найдите пересечение и объединение множества С = {4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} и множества D, если: a) D = {4, 6, 8, 10}; б) D = {2, 4, 6; 8; 10, 12, 14}; в) D = {13, 14, 15, 16}; г) D = С.
26. Перечислите элементы, принадлежащие пересечению множества букв в слове «математика» и множества букв в слове «грамматика». Из каких элементов состоит объединение данных множеств?
27. Найдите пересечение и объединение множеств:
а) [8; 15] и [9; 20];
б) ( –1; 1] и [–1; 0);
в) (2; +¥) и [– 4; 3];
г) (–¥; 3] и ( –2; +¥ ).
28. Найдите пересечение и объединение множеств А = {а; b; с; d; e}, В = {с; d; f; k}, С = {b; с; d}. Верно ли, что: а) е Î А Ç В Ç С; б) с Î А È В È С?
29. С – множество трапеций, D – множество параллелограммов, Е – множество четырехугольников, имеющих прямой угол. Постройте для данных множеств круги Эйлера, выделите штриховкой области, изображающие множества , задайте каждое из них описанием характеристического свойства.
30. Расположите 5 элементов на диаграммах двух пересекающихся множеств А и В так, чтобы в них было соответственно: а) 2 и 4 элемента; б) по 4 элемента; в) 4 и 5 элементов; г) по 5 элементов; д) 3 и 2 элемента; е) по 3 элемента.
31. Расположите 3 элемента на диаграммах трех попарно пересекающихся множеств А, В и С так, чтобы в них было соответственно: а) по 3 элемента; б) по 2 элемента; в) по 1 элементу; г) 1, 2 и 3 элемента; д) 1, 3 и 3 элемента; е) 0, 2 и 3 элемента.
32. Сформулируйте условия, при которых истинны следующие высказывания: а) 9 Î А \ В; б) 12 Ï А \ В.
33. Известно, что х Î А \ В. Следует ли из этого, что: а) х Î А; б) х Î В?
34. Множество А состоит из натуральных чисел от 2 до 10, множество В – из натуральных чисел от 5 до 12. Перечислите элементы множеств А \ В и В \ А.
35. Найдите разность множества А = {а; b; с; d; e} и множества В, если: а) В = {с; а; d; е; f; k; l}; б) В = {а; с; e}; в) В = {с; а; d; е; b}; г) В = {k; l; m}; д) В = {а; b; с; d; e; f; k}; е) В = Æ. В каких случаях в результате получилось дополнение множества В до множества А?
36. Р – множество двузначных чисел, К – множество четных натуральных чисел. Изобразите данные множества при помощи кругов Эйлера, отметьте штриховкой разность множеств Р и К и укажите характеристическое свойство элементов, принадлежащих этой разности. Верно ли, что Р \ К содержит числа 21; 17?
37. Дано множество Х = {а; b; с; d; e; f}. Запишите два подмножества множества X и дополнения этих подмножеств до множества X.
38. Сформулируйте характеристическое свойство элементов дополнения подмножества Р до множества треугольников, если: а) Р – множество остроугольных треугольников; б) Р – множество равносторонних треугольников.
39. Отметьте на координатной прямой множество А и укажите характеристическое свойство элементов его дополнения до множества R действительных чисел, если: а) А = (– ; 2]; б) А = [2; 5]; в) А = (– 6; 9); г) А = (–7; + ).
40. Изобразите на числовой прямой множества А и В, их дополнения и определите А Ç В, А È В, А \ В, ∩ В, А È , \ А, если:
а) А = (6; 9), В = [8; 11];
б) А = (1; 7], В = [5; 10);
в) А = [-5; 0], В = [–3; 8];
г) А = (– 8; 6), В = [0; 2];
д) А = (2; 5), В = (1; 12);
е) А = [2; 6], В = (6; 15);
ж) А = [– 3; 7], В = [7; 14);
з) А = (3; 9), В = [12; 15].
41. Множества А, В и С таковы, что А Ç В Ç С ≠ Æ. Изобразите их при помощи кругов Эйлера и отметьте штриховкой области, представляющие множества:
а) (А \ В) Ç С;
б) А \ В Ç С;
в) А È (В \ С);
г) А È В \ С;
д) А Ç В Ç
е) (А È В)' Ç С;
ж) (А' È В') Ç С;
з) È В È C.
42. К – множество трапеций, L – множество четырехугольников, имеющих прямой угол, М – множество квадратов. Постройте круги Эйлера для данных множеств и отметьте штриховкой области, изображающие множества: а) К \ L È М; б) L È М \ К; в) К È L \ М.
43. А – множество прямоугольников, В – множество правильных многоугольников, С – множество треугольников. Постройте круги Эйлера для данных множеств и отметьте штриховкой области, изображающие множества: а) А Ç В È C; б) А' Ç В È C; в) (А È В)' Ç С.
44. Известно, что А, В и С – подмножества универсального множества I и А Ç В Ç С ≠ Æ. Проиллюстрируйте равенство множеств на кругах Эйлера и докажите их:
; б) 12 – 5 > 4 + 1; в) 
= 5; г) 2,5 Î N; д) 32 > 23.
5; в) если запись числа оканчивается цифрой 5, то число делится на 5; г) число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3; д) число 23 не делится на 5; е) если а · b = 0, то а = 0 или b = 0; ж) если число делится на 2 и на 3, то оно делится на 6.
; е) 
. 
.
= 2 или 
5; д) –2 < 3 < 1; е) 4 
Ú С), зная лишь, что: а) А – «л»; б) С – «и»; в) А – «и», В – «л»; г) В – «л», С – «и»?
.
; в) 
; г) D Û С; д) (А Ù В) Þ D.
Þ В; в) (А Þ 
; д) А Þ (В Ú С); е) ( 
) Ú (А Þ С).
А Ù 
; 0; –27; 5,4; 
. Какие из них принадлежат множеству: а) целых чисел; б) целых неотрицательных чисел; в) рациональных чисел; г) действительных чисел?
Ï Q; е) – 1,67 Î R?
3};
3,5};
; 7]; в) [– 5,2; 0]; г) [0; 7,3).
), С = [8; 12);
а) А В б) В в) С
.
, задайте каждое из них описанием характеристического свойства.
∩ В, А È 
, 
Ç В';