Признаки сходимости числовых рядов

На практике часто не столь важно найти сумму ряда, как ответить на вопрос о сходимости ряда. Для этой цели используются признаки сходимости, основанные на свойствах общего члена ряда.

НЕОБХОДИМЫЙ ПРИЗНАК СХОДИМОСТИ РЯДА

ТЕОРЕМА 1.

Если ряд сходится, то его общий член a_n стремится к нулю при , т.е. .

Кратко: если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю.

Следствие: если ,то ряд расходится.

Пример 15. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Для этого ряда общий член и .

Следовательно, данный ряд расходится.

Пример 16. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Очевидно, что общий член этого ряда, вид которого не указан ввиду громоздкости выражения, стремится к нулю при n®¥, т.е. необходимый признак сходимости ряда выполняется, однако этот ряд расходится, так как его сумма стремится к бесконечности.

ДОСТАТОЧНЫЕ ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ

ЗНАКОПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЯДОВ

Числовой ряд, все члены которого положительны, называется знакоположительным.

ТЕОРЕМА 2.(Первый признак сравнения).

Пусть даны два знакоположительных ряда:

a₁+a₂+a₃+...+a_n+...= (17)

b₁+b₂+b₃+...+b_n+...= , (18)

причем, начиная с некоторого номера N, для любого n>N выполняется неравенство a_n £ b_n. Тогда:

1)из сходимости ряда (“большего”) следует сходимость ряда (“меньшего”);

2)из расходимости ряда (“меньшего”) следует расходимость ряда (“большего”).

Схематическая запись первого признака сравнения:

a_n £ b_n

сход.сход.

расх.®расх.

Для применения этого признака часто используют такие ряды-эталоны, сходимость или расходимость которых известна заранее, например:

1) ¾ геометрический, (он сходится при и расходится при );

2) - гармонический ( он расходится);

3) -ряд Дирихле (он сходится при a>1 и расходится при a£1).

Рассмотрим на конкретном примере схему исследования знакоположительного ряда на сходимость с помощью первого признака сравнения.

Пример 17. Исследовать ряд на сходимость.

Решение. Шаг 1. Проверим знакоположительность ряда: .

Шаг 2. Проверим выполнение необходимого признака сходимости ряда: . Так как , то .

(Если вычисление предела вызывает трудности, то этот шаг можно пропустить.)

Шаг 3. Используем первый признак сравнения. Подберем для данного ряда ряд-эталон. Так как , то в качестве эталона можно взять ряд , т.е. ряд Дирихле. Этот ряд сходится , так как показатель степени a= >1. Следовательно, согласно первому признаку сравнения сходится и исследуемый ряд.

Пример 18. Исследовать ряд на сходимость.

Решение. 1.Данный ряд знакоположительный, так как для n=1,2,3,... .

2.Необходимый признак сходимости ряда выполняется, ибо

3.Подберем ряд-эталон. Так как , то в качестве эталона можно взять геометрический ряд ( ). Этот ряд сходится, следовательно сходится и исследуемый ряд.

ТЕОРЕМА 3.(Второй признак сравнения)

Если для знакоположительных рядов и существует отличный от нуля конечный предел ,то ряды сходятся или расходятся одновременно.

Если a_n®0 при n®¥ (необходимый признак сходимости), то из условия , следует, что a_n и b_n – бесконечно малые одного порядка малости (эквивалентные при l=1). Следовательно, если дан ряд , где a_n®0 при n®0, то для этого ряда можно брать ряд-эталон , где общий член b_n имеет тот же порядок малости, что и общий член данного ряда.

Пример19. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Данный ряд знакоположительный, так как для любого nÎN.

Так как ~ ~ , то возьмем в качестве ряда-эталона гармонический расходящийся ряд . Поскольку предел отношения общих членов a_n и конечен и отличен от нуля (он равен 1), то на основании второго признака сравнения данный ряд расходится.

ТЕОРЕМА 4.(Признак Даламбера)

Если для знакоположительного ряда существует конечный предел , то ряд сходится при l<1 и расходится при l>1.

Замечания:

1) Если l=1, теорема 4 не дает ответа на вопрос о сходимости ряда и поэтому необходимо использовать другие признаки сходимости.

2) Признак Даламбера удобен на практике тогда, когда общий член ряда содержит показательную функцию или факториал.

Пример 20. Исследовать на сходимость ряд по признаку Даламбера.

Решение. Данный ряд знакоположительный и .

(Здесь при вычислении предела дважды последовательно применено правило Лопиталя.)

Так как

, то по признаку Даламбера данный ряд сходится.

Пример 21. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Данный ряд знакоположительный и .

Поскольку <1, то данный ряд сходится.

ТЕОРЕМА 5.(Признак Коши)

Если для знакоположительного ряда существует конечный предел , то при l<1 ряд сходится, а при l>1 ряд расходится.

Замечания:

1) Если l=1, теорема 5 не дает ответа на вопрос о сходимости ряда, поэтому необходимо использовать другие признаки сравнения.

2) Если l=¥ , то ряд расходится.

Пример 22. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Данный ряд знакоположительный, так как для любого nÎN. Опуская проверку выполнимости необходимого признака сходимости ряда, сразу воспользуемся теоремой 5. Так как , то по признаку Коши данный ряд расходится.

ТЕОРЕМА 6. (Интегральный признак Коши)

Пусть функция f(x) непрерывна, неотрицательна и не возрастает для всех x³m, где m -некоторое неотрицательное число. Тогда числовой ряд

сходится, если сходится несобственный интеграл

и расходится, если этот интеграл расходится.

Пример 23. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Члены ряда суть значения функции при x=2, 3, ... . Так как для x³2 (m=2) эта функция непрерывна, положительна и убывает, то вопрос о сходимости ряда эквивалентен вопросу о сходимости интеграла По определению несобственного интеграла

несобственный интеграл сходится, а, следовательно, сходится и исходный числовой ряд.