Замечание.

Точка , в которой выполнено условие (1), называется стационарной.

ТЕОРЕМА (Достаточное условие экстремума).

Пусть в стационарной точке и некоторой ее окрестности функция имеет непрерывные частные производные 2-го порядка включительно. Составим выражение:

.

Тогда:

1) если , то в точке есть экстремум; если при этом , то – точка максимума, а если , то – точка максимума;

2) если , то в точке нет экстремума;

3) если , то вопрос о наличии экстремума в точке остается открытым и нужны другие методы исследования.

Пример 1. Рассмотрим функцию z=1+6x-x²-xy-y²

и найдем ее экстремумы.

Найдем все частные производные вида: , , , , :

Найдем стационарные точки , для чего решим следующую систему уравнений:

, т.е. .

Находим решение этой системы: , , т.е. – стационарная точка. Найдем :

.

Следовательно, в точке есть экстремум. Т.к. , то – точка максимума и .

Пример 2. Рассмотрим функцию z=x²+y²+x+y+1

и найдем ее экстремумы.

Найдем все частные производные до 2-го порядка включительно: , , , .

Находим стационарные точки P₀:

Найдем :

.

Следовательно, в точке есть экстремум. Т.к. , то – точка минимум и .

Пример 3. Рассмотрим функцию

и найдем ее экстремумы.

Найдем все частные производные до 2-го порядка включительно: , ,

, , .

Затем находим все стационарные точки :

Þ ; , .

Заметим, что для решения вышеуказанной системы уравнений следует сложить оба уравнения, получив соотношение вида , т.е. . Затем надо подставить в первое уравнение = , получив уравнение вида и решив его, найти абсциссы , , точек , , , а затем и соответствующие ординаты этих точек , , .

Найдем :

; ; .

При этом , , поэтому , – точки минимума и .

Так как , то необходимо дополнительное исследование точки на наличие в ней экстремума. Заметим, что , а в любой окрестности есть точки, в которых и в которых (например, если и : , а если и : ). Следовательно, в точке нет экстремума.

Замечание.

Для того, чтобы найти наибольшее (наименьшее) значение функции в замкнутой ограниченной области , надо найти ее значения в стационарных точках внутри , затем найти наибольшее (наименьшее) значение на границе и выбрать среди полученных чисел максимальное (минимальное).

Пример 4. Найти наибольшее и наименьшее

значение функции

в замкнутой области , ограниченной линиями: , , . Область – это треугольник (рис. 4).

а)Найдем стационарные точки внутри :

.

Так как внутри , , то:

Þ – стационарная точка и

.

б)Найдем наибольшее (наименьшее) значение на сторонах вышеуказанного треугольника.

На сторонах, на которых или , или , очевидно, . На 3-ей стороне, задаваемой уравнением , функция принимает вид:

.

При этом .

Найдем максимальное и минимальное значение при . Имеем:

Þ или .

Но – граничная точка для отрезка ; только – внутренняя точка для отрезка , и в ней – минимум функции , . В граничных точках отрезка . Итак, на границе : , .

Таким образом, в замкнутой области : (достигается внутри в точке ) и (достигается на границе в точке ).