Элементы теории поля

Определения.

1)Скалярное поле в некоторой области пространства (плоскости) – это функция , определенная в этой области.

2)Градиентом скалярного поля в точке называется вектор

.

3)Пусть в пространстве задано скалярное поле и вектор .

Производной скалярного поля по направлению вектора в точке называется число

,

где , , – направляющие косинусы вектора , т.е. , , .

Замечания.

1)Величина характеризует скорость изменения поля в точке в направлении . Она равна скалярному произведению векторов и – орта вектора .

2)Вектор указывает направление максимального возрастания поля в точке . Величина равна скорости возрастания в точке .

3)Определения и для поля , заданного на плоскости, аналогичны приведенным выше определениям 1) и 2).

Пример 5. Найти и , если

, , .

Имеем:

;

;

.

Поэтому

.

Найдем орт вектора :

.

Найдем как скалярное произведение векторов и :

.

Задачи для самостоятельного решения

Найти экстремумы функций:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) .

При каких функция

10)

имеет максимум (минимум)?

Найти наибольшее и наименьшее значение функции . в заданной области :

11) ; – треугольник, ограниченный прямыми , , .

12) ; – прямоугольник с вершинами , , , .

13) ; – круг с центром в точке радиуса .

Найти и для заданного поля , точки и вектора :

14) , , .

15) , , , .

16) , , .

Занятие 16. Контрольная работа №3 по теме «Дифференциальное исчисление функций двух переменных». Вариант-образец.

1)Найти для функции .