Определение.Функция  называется неявно заданной, если она задана с помощью уравнения  , не разрешенного относительно «  ».
ТЕОРЕМА.
Пусть функция  задана неявно при помощи уравнения  . Предположим, что:
1)  , т.е.  ;
2) существуют  и  .
Тогда:
 .
Замечание.
Рассмотрим функцию двух переменных  , заданную неявно уравнением:
 .
Тогда при определенных условиях в некоторой точке  :
 ,  .
Пример 4. Рассмотрим функцию , заданную неявно уравнением:  .
Здесь  . Найдем  в некоторой точке  . Вычислим  ,  :
 ,  .
Тогда:
 .
Пример 5. Рассмотрим функцию  , заданную неявно уравнением:  .
Здесь  . Найдем  и  в некоторой точке . Вычислим , ,  .
 ,  ,  .
Поэтому:
 ,  .
Задачи для самостоятельного решения
1)  ,  ,  . Найти  ;
2)  ,  , . Найти ;
3)  ,  ,  . Найти ;
4)  ,  . Найти  ;
5)  ,  . Найти ;
6)  ,  . Найти ;
7)  ,  ,  . Найти  ,  ;
8) , ,  . Найти , ;
9)  ,  ,  . Найти  ;
10)  ,  ,  . Найти ;
11)  ,  ,  . Найти ;
12)  ,  . Найти ;
13)  ,  ,  . Найти , ;
14)  , ,  . Найти , ;
15)  ,  ,  . Найти , ;
16)  ,  ,  . Найти , .
В задачах 17) – 22) найти производную  неявно заданной функции .
17)  ;
18)  ;
19)  ;
20)  ;
21)  ;
22)  .
В задачах 23) – 25) найти , неявно заданной функции .
23)  ;
24)  ;
25)  .
|
