Занятие 14. Производные сложной и неявно заданной функции

1) И.Л. Соловейчик, В.Т. Лисичкин. Сборник задач по математике с решениями для техникумов. М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2003, 464 стр.

2) В.С. Шипачёв. Задачи по высшей математике. М.: Высшая школа; 1997; 304 стр.

3) Д.Т. Письменный. Конспект лекций по высшей математике. 1 часть. М.: Айрис-пресс, 2004; 288 стр.

Издание учебное

Скворцова Мария Ивановна

Мудракова Ольга Александровна

Кротов Герман Сергеевич

ПРАКТИКУМ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ВЕЧЕРНЕГО ОТДЕЛЕНИЯ 1-ОГО КУРСА.

(ЧАСТЬ II)

Учебно-методическое пособие

Подписано в печать __________ Формат 60х84/16. Бумага писчая. Отпечатано на ризографе. Уч. Изд. Листо2,9. Тираж 150 экз. Заказ № _____.

Лицензия на издательскую деятельность ИД № 03507 (рег. № 003792) код 221

Московская государственная академия тонкой химической технологии им. М.В. Ломоносова

Издательско-полиграфический центр

117571 Москва, пр. Вернадского, 86.

Занятие 14. Производные сложной и неявно заданной функции

Производные сложных функций двух переменных

1⁰.Пусть , , – дифференцируемые функции. Тогда частные производные сложной функции вычисляются так:

(1)

При этом в правые части формул (1) в выражения для z’_{x ,} z’_y следует подставить x=x(u,v), y=y(u,v). В результате z’_{x ,} z’_y будут зависеть только отu и v.

Пример 1. Пусть , , , т.е.

.

Найдем . Для этого сначала найдем следующие шесть частных производных:

Тогда, используя формулу (1) и выражая и через и , получим:

;

.

2⁰.Пусть , , – дифференцируемые функции. Тогда производная сложной функции z(u)=z(x(u),y(u)) вычисляется по формуле:

(2)

При этом в правую часть формулы (2) в полученные выражения для z’_x, z’_y следует подставить x=x(u), y=y(v). В результате dz/du будет зависеть только от u.

Пример 2. Пусть , , , т.е.

.

Найдем . Имеем:

, , , .

Используя формулу (2) и выражая и через и , получим:

3⁰.Пусть , – дифференцируемые функции. Тогда производная сложной функции вычисляется по формуле:

(3)

При этом в правую часть формулы (3) в полученные выражения для z’_x, z’_y следует подставить y=y(x). В результате z/dx будет зависеть только от x.

Пример 3. Пусть , , т.е. .

Найдем . Имеем:

, , .

Используя формулу (3) и выражая через , получим:

.