Точки непрерывности и точки разрыва функции. Классификация точек разрыва. Исследование функции на непрерывность.

Определение. Точка называется точкой разрыва функции , если в этой точке функция не является непрерывной.

Замечание. В точке разрыва может нарушаться одно или несколько из условий 1), 2), 3), определяющих непрерывность в точке . Например, или не определено; не существует конечный ; .

Определение. Левосторонний (правосторонний) предел функции при , обозначаемый через ( ), определяется формулой:

Замечание. Эти пределы иногда называются левым (правым) пределом функции в точке и вместо записи используется запись , т.е.:

.

Теорема. Предел функции в точке существует тогда и только тогда, когда существуют и равны между собой левый и правый пределы в точке . В этом случае

.

Классификация точек разрыва

Определение. Точка называется точкой разрыва I-го рода, если конечный. Если в точке разрыва I-го рода , то эта точка называется точкой устранимого разрыва, если же – то точкой неустранимого разрыва. Точка называется точкой разрыва II-го рода, если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

Геометрическая иллюстрация этих определений:

Примеры:

1) Как выбрать число , чтобы была непрерывна в точке ?

▲ Функция непрерывна в точке .

Найдем . Поэтому .

2) Как выбрать число , чтобы была непрерывна в точке ?

▲ Имеем: .

Функция непрерывна в точке .

Отсюда получаем: , т.е. .

3) Сформулируем общий принцип построения и решения задач типа 1) и 2). Функция задается формулой:

где – некоторые параметры, – фиксированная точка. Требуется подобрать значения параметров так, чтобы была непрерывна в точке .

▲ Находим односторонние пределы функции в точке :

, .

Для непрерывности в точке необходимо и достаточно, чтобы , т.е.

(*)

Как правило, функции непрерывны, так что вычисление соответствующих пределов не составляет труда. Из получаемых соотношений (*) находим .

4) Как доопределить функцию в точке , чтобы стала непрерывной в точке ?

а) ; б) ; в)

▲ Для непрерывности в точке необходимо и достаточно, чтобы . Поэтому:

а) (произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию есть бесконечно малая функция);

б) ;

в)

.

Замечание. Для построения задач типа 4) можно взять любую функцию из раздела "Вычисление пределов", для которой пределу соответствует неопределенность вида .

5) Исследовать функцию на непрерывность:

а) .

▲ Точка – точка разрыва, т.к. функция в ней не определена; это – точка разрыва I-го рода; устранимого разрыва, т.к.

б) .

▲ Функция непрерывна во всех точках, кроме точки . В этой точке – разрыв, т.к. не определена в этой точке. Это точка разрыва I-го рода, причем разрыв неустранимый, т.к.

, .

в) .

▲ Функция непрерывна во всех точках, кроме точек вида , . В этих точках – разрыв, т.к. не определена в них. В точке разрыв I-го рода, причем устранимый, т.к.

.

В точках вида – разрыв II-го рода, т.к.

.

г) .

▲ Функция непрерывна во всех точках, кроме точки . В этой точке разрыв, т.к. не определена в этой точке. В точке – разрыв I-го рода, причем неустранимый, т.к.

, .

д) .

▲ Функция непрерывна во всех точках, кроме точки . В этой точке – разрыв, т.к. не определена в этой точке. В точке – разрыв II-го рода, т.к.

,

.

е) .

▲ Функция непрерывна во всех точках, кроме точки . В этой точке – разрыв, т.к. не определена в этой точке. В этой точке – разрыв I-го рода, причем неустранимый, т.к.

,

.

Задачи для самостоятельного решения

1)Как определить , чтобы была непрерывна в точке ?

а) ;

б) ;

в) .

2)Исследовать на непрерывность:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж) ;

з) .

Ответы:

1): а) ; б) ; в) .

2): а) – точка разрыва I-го рода, устранимый разрыв;

б) – точка разрыва II-го рода;

в) – точка разрыва I-го рода, неустранимый разрыв;

г) – точка разрыва II-го рода;

д) – точка разрыва I-го рода, неустранимый разрыв;

е) – точка разрыва I-го рода, неустранимый разрыв;

ж) – точка разрыва II-го рода;

з) – точка разрыва II-го рода;

– точка разрыва I-го рода, устранимый разрыв.

Занятие 6.

Контрольная работа №1 по теме "Вычисление пределов функций. Исследование функции на непрерывность".

(Вариант – образец.)

I. Вычислить пределы:

1) .

▲ .

2) .

▲ т.к. ~ , ~ при , то

.

3) .

▲ .

4) .

▲

.

5) .

▲

.

II. Исследовать на непрерывность функцию .

▲ Функция непрерывна всюду, кроме точки , т.к. в этой точке функция неопределена. Найдем и определим тип разрыва в этой точке. Имеем: . Следовательно, – точка разрыва II рода.

Литература

1) В.С. Шипачёв. Задачи по высшей математике. М.: Высшая школа, 1997.

2) Д.Т. Письменный. Конспект лекций по высшей математике. 1 часть. М.: Айрисс – пресс, 2004.

3) И.Л. Соловейчик, В.Т. Лисичкин. Сборник задач по математике с решениями для техникумов. М.: ООО "Издательство "Мир и образование", 2003.

Издание учебное

Скворцова Мария Ивановна

Мудракова Ольга Александровна

Кротов Герман Сергеевич

ПРАКТИКУМ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ВЕЧЕРНЕГО ОТДЕЛЕНИЯ

1-ОГО КУРСА.

Учебно-методическое пособие

Подписано в печать . Формат 60х84/16. Бумага писчая. Отпечатано на ризографе. Уч. изд. листов _____.
Тираж 150 экз. Заказ № _____.

Лицензия на издательскую деятельность

ИД № 03507 (рег. № 003792) код 221

Московская государственная академия тонкой химической технологии им. М.В. Ломоносова

Издательско-полиграфический центр

119571 Москва, пр. Вернадского, 86.