Определение. Точка называется точкой разрыва функции , если в этой точке функция не является непрерывной.
Замечание. В точке разрыва может нарушаться одно или несколько из условий 1), 2), 3), определяющих непрерывность в точке . Например, или не определено; не существует конечный ; .
Определение. Левосторонний (правосторонний) предел функции при , обозначаемый через ( ), определяется формулой:
Замечание. Эти пределы иногда называются левым (правым) пределом функции в точке и вместо записи используется запись , т.е.:
.
Теорема. Предел функции в точке существует тогда и только тогда, когда существуют и равны между собой левый и правый пределы в точке . В этом случае
.
Классификация точек разрыва
Определение. Точка называется точкой разрыва I-го рода, если конечный. Если в точке разрыва I-го рода , то эта точка называется точкой устранимого разрыва, если же – то точкой неустранимого разрыва. Точка называется точкой разрыва II-го рода, если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.
Геометрическая иллюстрация этих определений:
Примеры:
1) Как выбрать число , чтобы была непрерывна в точке ?
▲ Функция непрерывна в точке .
Найдем . Поэтому .
2) Как выбрать число , чтобы была непрерывна в точке ?
▲ Имеем: .
Функция непрерывна в точке .
Отсюда получаем: , т.е. .
3) Сформулируем общий принцип построения и решения задач типа 1) и 2). Функция задается формулой:
где – некоторые параметры, – фиксированная точка. Требуется подобрать значения параметров так, чтобы была непрерывна в точке .
▲ Находим односторонние пределы функции в точке :
, .
Для непрерывности в точке необходимо и достаточно, чтобы , т.е.
(*)
Как правило, функции непрерывны, так что вычисление соответствующих пределов не составляет труда. Из получаемых соотношений (*) находим .
4) Как доопределить функцию в точке , чтобы стала непрерывной в точке ?
а) ; б) ; в)
▲ Для непрерывности в точке необходимо и достаточно, чтобы . Поэтому:
а) (произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию есть бесконечно малая функция);
б) ;
в)
.
Замечание. Для построения задач типа 4) можно взять любую функцию из раздела "Вычисление пределов", для которой пределу соответствует неопределенность вида .
5) Исследовать функцию на непрерывность:
а) .
▲ Точка – точка разрыва, т.к. функция в ней не определена; это – точка разрыва I-го рода; устранимого разрыва, т.к.
б) .
▲ Функция непрерывна во всех точках, кроме точки . В этой точке – разрыв, т.к. не определена в этой точке. Это точка разрыва I-го рода, причем разрыв неустранимый, т.к.
, .
в) .
▲ Функция непрерывна во всех точках, кроме точек вида , . В этих точках – разрыв, т.к. не определена в них. В точке разрыв I-го рода, причем устранимый, т.к.
.
В точках вида – разрыв II-го рода, т.к.
.
г) .
▲ Функция непрерывна во всех точках, кроме точки . В этой точке разрыв, т.к. не определена в этой точке. В точке – разрыв I-го рода, причем неустранимый, т.к.
, .
д) .
▲ Функция непрерывна во всех точках, кроме точки . В этой точке – разрыв, т.к. не определена в этой точке. В точке – разрыв II-го рода, т.к.
,
.
е) .
▲ Функция непрерывна во всех точках, кроме точки . В этой точке – разрыв, т.к. не определена в этой точке. В этой точке – разрыв I-го рода, причем неустранимый, т.к.
,
.
Задачи для самостоятельного решения
1)Как определить , чтобы была непрерывна в точке ?
а) ;
б) ;
в) .
2)Исследовать на непрерывность:
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) ;
е) ;
ж) ;
з) .
Ответы:
1): а) ; б) ; в) .
2): а) – точка разрыва I-го рода, устранимый разрыв;
б) – точка разрыва II-го рода;
в) – точка разрыва I-го рода, неустранимый разрыв;
г) – точка разрыва II-го рода;
д) – точка разрыва I-го рода, неустранимый разрыв;
е) – точка разрыва I-го рода, неустранимый разрыв;
ж) – точка разрыва II-го рода;
з) – точка разрыва II-го рода;
– точка разрыва I-го рода, устранимый разрыв.
Занятие 6.
Контрольная работа №1 по теме "Вычисление пределов функций. Исследование функции на непрерывность".
(Вариант – образец.)
I. Вычислить пределы:
1) .
▲ .
2) .
▲ т.к. ~ , ~ при , то
.
3) .
▲ .
4) .
▲
.
5) .
▲
.
II. Исследовать на непрерывность функцию .
▲ Функция непрерывна всюду, кроме точки , т.к. в этой точке функция неопределена. Найдем и определим тип разрыва в этой точке. Имеем: . Следовательно, – точка разрыва II рода.
Литература
1) В.С. Шипачёв. Задачи по высшей математике. М.: Высшая школа, 1997.
2) Д.Т. Письменный. Конспект лекций по высшей математике. 1 часть. М.: Айрисс – пресс, 2004.
3) И.Л. Соловейчик, В.Т. Лисичкин. Сборник задач по математике с решениями для техникумов. М.: ООО "Издательство "Мир и образование", 2003.
Издание учебное
Скворцова Мария Ивановна
Мудракова Ольга Александровна
Кротов Герман Сергеевич
ПРАКТИКУМ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ВЕЧЕРНЕГО ОТДЕЛЕНИЯ
Московская государственная академия тонкой химической технологии им. М.В. Ломоносова
Издательско-полиграфический центр
119571 Москва, пр. Вернадского, 86.
Практикум по математическому анализу для студентов вечернего отделения
1-го курса
(Часть II)
Учебно-методическое пособие
Москва, 2006 г.
УДК 512.8:516
ББК С42
Рецензенты: к.ф.-м.н., доцент Каролинская С.Н. (МАИ им. С Орджоникидзе); к.ф.-м.н., доцент Краснослободцева Т.П. (МИТХТ им. М.В. Ломоносова).
Скворцова М.И., Мудракова О.А., Кротов Г.С., Практикум по математическому анализу для студентов вечернего отделения 1-го курса (Часть II), Учебно-методическое пособие — М.: МИТХТ, 2006 г, 30 стр., рис. 3.
Пособие представляет собой конспекты 6 практических занятий по курсу математического анализа для студентов вечернего отделения МИТХТ им. М. В. Ломоносова. Оно является продолжением I–й части одноименного учебно-методического пособия тех же авторов. В часть II включены следующие разделы: «Производная функции одной переменной», «Исследование функций и построение их графиков».
Каждое занятие посвящено отдельной теме. Конспекты 5-ти занятий содержат краткое изложение соответствующей теории, типовые примеры и задачи для самостоятельного решения (с ответами). В конспекте занятия №10 приведен образец варианта контрольной работы (с решениями), проводимой на этом занятии. Дан перечень 40 вариантов домашней контрольной работы по теме «Исследование функций и построение их графиков».
Пособие предназначено для студентов вечернего отделе-ния вузов химического профиля.
Занятие 7. Производная функции одной переменной. Производная сложной функции. Логарифмическое дифференцирование…………………………………………………….…4
Занятие 8. Уравнения касательной и нормали к кривой. Угол между кривыми. Дифференциал функции. Приближённое вычисление значения функции в точке ..………….…………………………………………….………………….…..7
Занятие 9.Правило Лопиталя для вычисления пределов. Производная функции, заданной параметрически...………………………………………………………….11
Занятие 10.Контрольная работа №2 по теме "Производная функции одной переменной». Вариант-образец…………………………………………….………………………..14
называется точкой разрыва функции 
, если в этой точке функция не является непрерывной.
или 
не определено; не существует конечный 
; 
.
, обозначаемый через 
( 
), определяется формулой:
используется запись 
, т.е.:
.
.
конечный. Если в точке разрыва I-го рода 
, то эта точка называется точкой устранимого разрыва, если же 
– то точкой неустранимого разрыва. Точка 
не существует или равен бесконечности.
, чтобы 
?
.
. Поэтому 
.
?
.
.
, т.е. 
.
– некоторые параметры, 
– фиксированная точка. Требуется подобрать значения параметров 
.
, 
.
, т.е.
(*)
непрерывны, так что вычисление соответствующих пределов не составляет труда. Из получаемых соотношений (*) находим 
, чтобы 
; б) 
; в) 
. Поэтому:
(произведение бесконечно малой функции 
на ограниченную функцию 
есть бесконечно малая функция);
;
.
.
.
– точка разрыва, т.к. функция в ней не определена; это – точка разрыва I-го рода; устранимого разрыва, т.к.
.
, 
.
.
. В этих точках – разрыв, т.к. 
.
.
.
, 
.
.
,
.
.
,
.
, чтобы 
была непрерывна в точке 
;
;
.
;
;
;
;
;
;
;
.
; б) 
; в) 
.
– точка разрыва II-го рода;
– точка разрыва I-го рода, неустранимый разрыв;
– точка разрыва II-го рода;
.
.
.
~ 
, 
~ 
при 
, то
.
.
.
.
.
.
.
.
непрерывна всюду, кроме точки 
, т.к. в этой точке функция неопределена. Найдем 
и определим тип разрыва в этой точке. Имеем: 
. Следовательно,