Геометрические преобразования графиков функций.

Предположим, построен график функции . Требуется построить на его основе график функции , где – константы. Далее, в таблице приведен ряд правил построения таких графиков.

	Преобразование функции	Преобразование графика
1)		График сдвигается вдоль оси на "единиц" вправо, если , и " " единиц влево, если .
2)		График сдвигается вдоль оси на " " единиц вверх, если , и " " единиц вниз, если .
3)		При график растягивается в раз вдоль оси ; при график сжимается в раз вдоль оси .
4)		При график сжимается к оси в раз; при график растягивается от оси в раз.
5)		Сохранить часть графика над осью , а то, что под – отразить симметрично относительно .
6)		Сохранить часть графика при , и, кроме того, эту часть отразить симметрично относительно оси .
7)		График отразить симметрично относительно .
8)		График отразить симметрично относительно .

Замечания.

1)Применяя последовательно эти приемы, можно построить график функции вида ;

2)Период функций , равен .

Примеры.

I. Случай 1), 2).

а) Рассмотрим функцию .

График этой функции можно получить путем сдвига "стандартной" параболы как единого целого на 2 единицы по оси вправо и на 1 единицу по оси вверх (см. рис.3).

б) Рассмотрим функцию .

График этой функции можно получить путем сдвига "стандартной" гиперболы по оси влево на 1 единицу и по оси вверх на 1 единицу (см. рис.4).

II. Случаи 3), 4).

а) Рассмотрим функцию .

График этой функции можно получить путем растяжения графика вдоль оси в 2 раза. При этом нули обеих функций одинаковы – это точки вида , (см. рис.5).

б) Рассмотрим функцию .

График этой функции можно получить из графика путем сжатия его в 2 раза к оси . Период функции равен (см. рис.6).

III. Случаи 5), 6).

Рассмотрим функции и .

Их графики можно получить из графика функции по правилам 5) или 6) (см. рис.7 и рис.8).

IV. Случаи 7), 8).

Рассмотрим функции и .

Их графики можно получить из графика функции по правилам 7) и 8), соответственно (см. рис.9 и рис.10).

Задачи для самостоятельного решения.

I.Построить графики функций (методом сдвига и растяжения вдоль осей координат):

1)	9)
2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)	10) 11) 12) 13) 14) 15)

II.

а) Даны декартовы координаты точки : .

Найти ее полярные координаты и .

б) Даны полярные координаты точки : .

Найти ее декартовы координаты и .

в) Задать кривые в полярных координатах при помощи уравнения : , .

Ответы:

II. а) ; б) ; в) , .

Занятие 3.