Дан ряд с положительными членами 
и 
Если 
- сходиться.
Если 
- расходиться.
Если 
- вопрос о сходимости не решен.
Доказательство:
по определению 
, начиная с которого 
1) Пусть С<1 выберем 
настолько малым, чтобы 
, тогда из правой части 
< 
, ряд 
, где q<1 сходится как ряд из членов геометрической прогрессии, со знаменателем <1, тогда исходный ряд сходится по I признаку сравнения, т.к его члены меньше членов сходящегося ряда.
2) Пусть С>1 выберем 
настолько малым, чтобы 
>1 из левой части 
> ; (q>1) расходится, как ряд из членов геометрической прогрессии, расходится по I признаку сравнения, т.к его члены больше членов сходящегося ряда.
3)С=1
Возьмем 2 обобщенно гармонических ряда 
– расходится (p=1) и 
-сходится (p=2>1) и покажем, что С=1.
Таким образом, при С=1 ряд может как сходится так и расходится.
Конец доказательства.
