Дан ряд с положительными членами 
и 
Если 
- сходиться.
Если 
- расходиться.
Если 
- вопрос о сходимости не решен.
Доказательство:
, начиная с которого
1) Пусть D<1 выберем 
настолько малым, чтобы 
обозначим 
рассмотрим правую часть 
Рассмотрим ряд из членов геометрической прогрессии 
, т.к. ряд q<1 
этот ряд сходится.
Т.к. исходный ряд меньше сходящегося ряда из членов меньшего ряда, то исходный ряд сходится по I признаку сравнения.
2) Пусть D>1 выберем 
настолько малым, чтобы 
>1 
<(D- )
из левой части 
>
следовательно, члены ряда растут не стремится к 0 
, ряд расходится по достаточному признаку расходимости.
3) D=1
Возьмем 2 обобщенно гармонических ряда 
– расходится и 
- сходится.
Для 
D= 
Для D= 
При D=1 ряд может сходиться или расходиться и вопрос о сходимости ряда остается открытым.
Конец доказательства.
