Дан ряд с положительными членами 
, что 
( 
) и функция f(x) – положительная и убывающая, связанная с рядом равенством f(n)= 
. Тогда несобственный интеграл 
и сходится и расходится одновременно.
Доказательство:
f(n)=Un
S ступенчатой фигуры над рядом (f(x))
- n частичная сумма ряда.
S ступенчатой фигуры под графиком функции f(x)
- n+1 частичная сумма ряда.
очевидно неравенство 
Пусть несобственный интеграл 
сходится 
Из левой части 
<числа 
- ограничена сверху числом 
- сходится.
Пусть расходится 
из правой части (*) 
неограничен ряд расходится.
Конец доказательства.
Докажем, с помощью интегрального признака Коши, что обобщенно-гармонический ряд:
свяжем с эти рядом несобственный интеграл
(доказано в несобственном интеграле) исходный несобственный интеграл сходится или расходится одновременно.
