Числовые ряды с положительными членами.

Рассмотрим знакоположительный числовой ряд , где .Последовательность частичных сумм такого ряда будет всегда возрастающей:

На 1 курсе была доказана теорема о том, что: монотонно возрастающая последовательность, ограниченная сверху имеет конечный предел.

- число.

Для знакоположительного ряда достаточно доказать, что, последовательность частичных сумм ограничена сверху числом (возрастание и так есть).

1^й признак сравнения.

Дано 2 ряда с положительными членами (1) и (2) и начиная с некоторого номера N выполняется неравенство , тогда если (2) сходится то и (1) сходится. Если (1) расходится то и (2) тоже расходится, (ряд меньший сходящегося тоже сходится, ряд больший расходящегося тоже расходится).

Доказательство: Обозначим через - n – частичная сумма 1 ряда и - n – частичная сумма 2 ряда.

Т.к . Пусть 2 ряд сходится, тогда , причём ограничена сверху числом (1) сходится.

Пусть 1 ряд расходится , т.к расходится.

Конец доказательство.

Замечание:при доказательстве этого признака мы считали, что неравенство выполняется с 1 номера. Этот факт не влияет на сходимость, т.к по свойству рядов отбрасывание n – первых членов ряда на сходимость ряда не влияет.

Для сравнения необходим стандартный набор рядов, о сходимости всё известно. К таким рядам относятся:

Ряды для сравнения:
Ряды членов геометрической прогрессии:	Обобщенно гармонический ряд: (строгое доказательство будет проведено после интегрального признака сходимости)