1) Если 
(1) сходится и имеет сумму S, то 
(2) тоже сходится, и имеет сумму CS, где С-const.
Доказательство:Пусть 
, n– ая частичная сумма 1 ряда.
, n–ая частичная сумма 2 ряда.
Т.к 1 ряд сходится, то 
.
Рассмотрим 
(2) ряд сходится.
Конец доказательства.
2) Если 
(1) сходится с суммой S1, и (2) сходится с суммой S2. 
тоже сходится с суммой 
.
Доказательство:
Обозначим 
- n – частичная сумма 1 ряда.
- n – частичная сумма 2 ряда.
Рассмотрим n-ую частичную сумму ряда
и сумма 
.
Конец доказательства.
3) Любой ряд может быть представлен в виде:
, где 
- n – частичная сумма,
- n – остаток ряда.
n – остаток ряда 
тоже является рядом.
Если , то и его остаток 
тоже сходится.
Доказательство: доказательство этого факта следует из того, что сумма ряда и сумма его остатка отличаются друг от друга на конечное число cлагаемых.
Конец доказательства.
Следствие: на сходимость ряда не влияет отбрасывание или приписывание в начало ряда конечного числа членов, например: 1+3+9+27+…
Дописывание : 1/9+1/3+1+3+9+27+.. отбрасывание: 1+3+5+7+9+11
4)Если сходится с суммой S 
.
Общий вывод:на практике необязательно выяснять сходимость ряда по определению (вычисляя сумму S). Достаточно просто знать сходится этот ряд или расходится, поэтому, основное место в теории рядов занимают теоремы – признаки сходимости, которые позволяют исследовать ряд на сходимость, не вычисляя его суммы.
