Положение прямой относительно плоскостей проекций

Прямая

Комплексный чертеж (эпюр Монжа)

Свойства параллельного проецирования

1. Проекция точки есть точка. Это очевидно из определения проекции как точки пересечения проецирующего луча с плоскостью проекций.
2. Проекция прямой есть прямая Для получения проекции прямой линии достаточно иметь проекции двух принадлежащих ей точек и через них провести прямую.

3. Проекция точки К, принадлежащей прямой АВ, находится на проекции этой прямой; К Î АВ; К_i Î А_i В_i

Проекций прямой, параллельной направлению проецирования, является точка

4. Прямая линия А_iВ_i может быть проекцией не только прямой АВ, но и любой кривой линии А¢В¢, если эта кривая линия находится в проецирующей плоскости

5. Если отрезок прямой АВ параллелен плоскости проекций, то его проекция на эту плоскость равна истинной величине отрезка

AB ǁ П₁ Þ А_i В_i º AB

1. Отношение отрезков прямой линии равно отношению отрезков их проекций

АК : КВ = А_i К_i : К_i В_i

7. Проекции параллельных прямых параллельны между собой. Но обратное справедливо не всегда .

Методы проецирования, позволяют строить изображения (проекции) по заданному геометрическому образу (оригиналу), т.е. решать прямую задачу начертательной геометрии. Но в ряде случаев предусматривается решение обратной задачи, которая заключается в построении оригинала в пространстве по его проекциям на плоскости проекций.

Рассмотрим схему построения обратимого чертежа, используемую в начертательной геометрии.

Ортогональное проецирование является частным случаем параллельного проецирования, когда направление проецирования перпендикулярно (ортогонально) плоскости проекций: S^П_i.

Ортогональное проецирование является основным в черчении, т.к. обладает большой наглядностью и позволяет при определенном расположении геометрических образов относительно плоскостей проекций сохранить ряд линейных и угловых параметров оригинала.

Французский геометр Гаспар Монж предложил ортогонально проецировать оригинал на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций П₁ и П₂ .

П₁ – горизонтальная плоскость проекций; П₂ - фронтальная плоскость проекций; х = П₁ Ⴖ П₂ .Плоскости проекций разделяют пространство на четыре четверти (или квадранты). Четверти нумеруются в порядке, указанном на рис. 8. Система координат выбрана из условия совпадения координатных плоскостей с плоскостями проекций. На рис. 9 показано проецирование точки А на плоскости П₁ и П₂ . Проецирующие лучи АА₁ и АА₂ перпендикулярны соответствующим плоскостям проекций, поэтому фронтальная (А₂) и горизонтальная (А₁) проекции точки А находятся на перпендикулярах А₁А_х и А₂А_х к оси проекций х.

Повернув плоскость проекций П₁ вокруг оси х на угол 90⁰ получим одну плоскость – плоскость чертежа, проекции А₁ и А₂ расположатся на одном перпендикуляре к оси проекций х – линии связи. В результате совмещения плоскостей проекций П₁ и П₂ получается чертеж, называемый эпюром Монжа. Эпюр Монжа называют в современной литературе еще комплексным чертежом. Это чертеж состоящий из двух и более связанных между собой проекций геометрического образа. В дальнейшем эпюр Монжа будем называть одним словом – чертеж.

Так как плоскости проекций безграничны, то чертеж точки А в системе П₁/П₂ будет выглядеть так, как на рис.

А₂А_х – расстояние от точки А до плоскости проекций П₁;

А₁А_х – расстояние от точки А до плоскости проекций П₂.

Поэтому проекции точки А на две плоскости проекций полностью определяют ее положение в пространстве.

Для упрощения дальнейших рассуждений будем рассматривать лишь часть пространства, расположенную влево от профильной плоскости проекции П₃ .

П₃ – профильная плоскость проекций; Z = П₂ Ⴖ П₃; Z – ось ординат. Плоскость проекции П₃ перпендикулярна к П₁П₂.

Построение проекций точки А в системе П₁/П₂/П₃ показано на рис.

ОА_х – удаление точки А от профильной плоскости проекций;

А₃ – профильная проекция точки А;

А₁А_х А₂, А₂А_zА₃ – линии связи.

На чертеже фронтальная и профильная проекции точки лежат на одной линии связи, перпендикулярной к оси Z, причем профильная проекция находится на таком же расстоянии от оси Z, что и горизонтальная от оси Х : А_zА₃ = А_хА₁.

Горизонтальная проекция точки А₁ определяется координатами Х и Y

фронтальная А₂ – координатами Х и Z, профильная П₃ – координатами Y и Z.

Относительно плоскостей проекций точка может занимать следующие положения:

1. Точка располагается в какой-либо четверти пространства, при этом обязательно условие, что Х ≠ 0; Y ≠ 0; Z ¹ 0.
2. Точка принадлежит какой-либо плоскости проекций, при условии, что одна из координат должна быть равна «0».

А Î П₁, если Ζ = 0;

А Î П₂, если Y = 0;

А Î П₃, если Х = 0.

3. Точка принадлежит оси координат, если две любые координаты будут равны «0».

А Î Х, если Y = 0; Z = 0;

А Î U, если Х = 0; Z = 0;

А Î Z, если Х = 0; Y = 0.

1. Основные способы проецирования.

2. Свойства параллельного проецирования.

3. Что такое эпюр Монжа?

4. Что такое четверти пространства?

5. Как образуются проекции А₁, А₂,А₃ точки А?

6. Какими координатами определяются:

- горизонтальная проекция точки;

- фронтальная проекция точки;

- профильная проекция точки?

7. В каких случаях на эпюре (чертеже) горизонтальная и фронтальная проекции точки совпадают?

Две точки прямой в пространстве определяют ее положение в пространстве. На эпюре прямая может быть задана проекциями прямой ( а₁ и а₂); проекциями двух точек ( А₁,А₂ и В₁,В₂); проекциями отрезка прямой (С₁D₁ и C₂D₂).

Относительно плоскостей проекций прямая может занимать общее и частное положения.

Если прямая не параллельна ни одной из плоскостей проекций, то такая прямая называется прямой общего положения.

На рис. показан чертеж отрезка прямой общего положения. Каждая из проекций отрезка прямой меньше истинной величины отрезка и ни одна из проекций прямой не параллельна оси проекций и не перпендикулярна к ней.

Особый интерес представляют прямые частного положения, т.е. прямые, занимающие определенное положение относительно плоскостей проекций.