МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И МЕТОДЫ В ИНЖЕНЕРНЫХ РАСЧЕТАХ

• Нормативные издержки – по сути своей есть будущие целевые расходы, в основе которых лежит принцип устранения неэффективных участков

• Нормативы (стандарты) устанавливаются для всех категорий затрат по каждой номенклатурной позиции

• Отслеживается два основных типа отклонений фактических затрат от нормативных

– по стоимости (цене)

– по количеству

Руководство для применения принципа контролируемости

• Если менеджер может управлять количеством получаемой услуги и ценой, которую он должен за нее платить, то он отвечает за все расходы, связанные с этой услугой.

• Если менеджер может контролировать услугу по получаемому количеству, но не цену, которую он должен за нее платить, то он должен отвечать только за расхождение между фактическими и сметными расходами, обусловленное количеством потребляемого ресурса.

• Если менеджер не может управлять ни количеством получаемой услуги, ни ценой, которую он должен за нее платить, то такие расходы являются для него неконтролируемыми, и он не должен за них нести ответственность.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И МЕТОДЫ В ИНЖЕНЕРНЫХ РАСЧЕТАХ

Конспект лекций

для студентов специальности

«Строительство железных дорог, путь и путевое хозяйство»

Москва 2012

УДК 625.111:519.2

Б 94

Бучкин В. А., Рыжик Е. А. Математические модели и методы в инженерных расчетах: Конспект лекций. - М.: МИИТ, 2012.- 76 с.

Конспект лекций разработан по дисциплине «Математические модели и методы в инженерных расчетах» для студентов специальности /направления270204 «Строительство железных дорог, путь и путевое хозяйство»/«Транспортное строительство».

Рецензенты:

Начальник отдела проектирования КСПД ИЖТ Центра «Росжелдоризыскания» ОАО «Росжелдорпроект» О. Ю. Попов

Директор ИПСС МИИТа, доктор технических наук Т. В. Шепитько

© Московский государственный

университет путей сообщения

(МИИТ), 2012

Введение

Современный этап научно-технического прогресса ориентирован на создание оптимальных изделий, необходимых обществу. Созданию оптимальных изделий предшествует большая (часто, очень большая) вычислительная работа, которая не может быть выполнена без использования вычислительной техники, которая, собственно, и была изобретена для выполнения такой работы.

Однако вычислительная техника сама по себе не решает поставленной задачи, а является лишь базой, обеспечивающей работу программных средств. Программы работают не с реальными объектами, а только с их математическими моделями. Для работы с математическими моделями используются математические методы.

Реализация математических методов требует разработки вычислительных технологий, алгоритмов – последовательности математических и логических операций, однозначно приводящих к конечному результату за реальное машинное время.

Каждая из операций, реализуемых в пределах алгоритмов, должна быть точно и однозначно определена. Это касается как сложных операций, так и простейших.

Разработка и обоснование вычислительной технологии реализации прикладного математического метода, неизбежные в реальной работе, обычно недооцениваются. Это связано с характерной чертой вычислительной технологии: «в некотором смысле ее средства тривиальны и доступны не очень сведущему человеку. В то же время всякий, кто занимался вычислительной работой всерьез, знает, что она требует большого труда, фантазии и сообразительности, основательных теоретических знаний» [1].

В конспекте используются фрагменты текста и рисунки из книг, приведенных в списке литературы.

1. ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Понятие информационная технология тесно связано с понятием информация. С середины XX века информация является общенаучным понятием, включающим в себя обмен сведениями между людьми, коллективами людей, человеком и машиной (автоматом), машиной и машиной. С точки зрения кибернетики[1], информация – это знания, принятые, понятые и признанные полезными (в том числе и негативные) для решения задач управления.

Информационные технологии (ИТ, от англ. information technology, IT) – широкий класс дисциплин и областей деятельности, относящихся к технологиям создания, управления и обработки данных, в том числе с применением вычислительной техники. В настоящее время под информационными технологиями чаще всего понимают компьютерные технологии.

Согласно определению, принятому ЮНЕСКО, ИТ — это комплекс взаимосвязанных научных, технологических, инженерных дисциплин, изучающих методы эффективной организации труда людей, занятых обработкой и хранением информации; вычислительную технику и методы организации и взаимодействия с людьми и производственным оборудованием, их практические приложения, а также связанные со всем этим социальные, экономические и культурные проблемы.

Сами ИТ требуют сложной подготовки, больших первоначальных затрат и наукоемкой техники. Их внедрение должно начинаться с создания математического обеспечения иформирования информационных потоков в системах подготовки специалистов.

Основные черты современных ИТ:

- компьютерная обработка информации по заданным алгоритмам;

- хранение больших объёмов информации на машинных носителях;

- передача информации на значительные расстояния в ограниченное время.

Процессы получения, хранения, транспортировки, преобразования и представления информации называют информационными процессами. Следовательно, информационная технология – это система приемов, способов и методов осуществления информационного процесса определенного назначения.

Система – множество взаимосвязанных элементов, каждый из которых связан прямо или косвенно с каждым другим элементом, а два любых подмножества этого множества не могут быть независимы без нарушения целостности и единства системы.

Прием – отдельное действие, движение; способ в осуществлении чего-нибудь.

Способ – действие (система действий), применяемое при исполнении какой-нибудь работы (осуществления чего-нибудь).

Метод – правильный путь, способ, план для достижения определенной цели. В науке – способ и порядок исследования предмета для получения наиболее полного и соответствующего истине результата.

При работе с информацией возникают технические, семантические и прагматические проблемы. Технические проблемы связаны с надежностью, точностью и скоростью получения, переработки и передачи информации (синтактика). Семантические проблемы связаны со способами передачи информации с помощью кодов (семантика), прагматические – с изучением эффективности воздействия информации на потребителя информации (прагматика).

К информации предъявляются следующие требования:

целенаправленность – свойство информации иметь определенное назначение;

полезность – свойство информации уменьшать неопределенность в оценке состояния объекта управления;

своевременность – свойство информации быть в наличии, когда она потребуется;

достоверность – свойство информации не содержать скрытых ошибок. Достоверность может снижаться из-за намеренного ее искажения, низкого качества отражения или передачи;

надежность – свойство информации выполнять заданные функции, сохранять эксплуатационные показатели в заданных пределах в течение требуемых промежутков времени или наработки. Надежность включает в себя понятия безотказности, долговечности и восстанавливаемости;

удобство представления – форма представления информации должна быть удобной для пользователя, позволять ее машинную обработку и возможность производить необходимый анализ состояния объекта управления.

Данные – это информация, представленная в виде, пригодном для обработки автоматическими средствами при возможном участии человека. Таким образом, понятие информация является более общим по отношению к понятию данные.

Качество данных характеризуется целым набором свойств, важнейшими из которых являются:

достоверность – свойство данных не содержать скрытых ошибок;

целостность – свойство данных сохранять свое информационное содержание и однозначность интерпретации в условиях разнообразных воздействий. Целостность данных считается не нарушенной, если данные не искажены и не разрушены;

безопасность – защищенность данных от несанкционированного доступа к ним, осуществляемого с целью раскрытия, изменения или разрушения данных.

Информационная технология охватывает только приемы, методы, способы и не включает в себя средства реализации этих приемов, методов и способов. Хотя говоря о способах, методах, приемах обработки информации необходимо иметь в виду вполне определенные средства реализации такой технологии.

К средствам реализации информационных технологий относят аппаратные средства (электронные устройства, блоки, ЭВМ, аппаратура передачи данных и т.п.), программные средства (пакеты прикладных программ, аппаратно-программные комплексы) и автоматизированные информационные системы.

Автоматизированная информационная система – совокупность технических (аппаратных) и программных средств, а также работающих с ними пользователей (персонала), обеспечивающая ввод, передачу, хранение, обработку и представление информации.

2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

Процессы, происходящие в реальном мире, описываются как совокупность некоторых операций связывающих исследуемые объекты. Такими операциями могут быть наблюдения, эксперименты, расчеты и т.п. Сложность подлинных ситуаций, возникающих при взаимодействии объектов исследования, требует упрощения описаний связей между ними, выделения среди них наиболее существенных. Такие описания и принято называть моделями.

Таким образом, моделью можно назвать то, что при проведении исследования заменяет реальный объект, процесс или явление.

Актуален и реализуется переход к цифровому производству – повсеместному и постоянному применению цифровых моделей в процессе проектирования и эксплуатации производственных систем. При этом в виде цифровых моделей отображаются не только сами объекты (например, в виде двумерных или трехмерных CAD[2]-чертежей), но и все средства производства, а также производственные и логистические процессы [2].

Математическая модель сводится к описанию, формализации изучаемого объекта, процесса или явления на языке математики, то есть с помощью абстрактных, символических объектов, таких, как числа или векторы, и отношения между этими объектами.

2.1. Моделирование случайных процессов

Многие явления в природе, технике, обществе в других областях носят случайный характер, т.е. невозможно точно предсказать, как явление будет происходить. Однако течение таких явлений можно описать количественно, если они наблюдались достаточное число раз при неизменных условиях.

Математическую модель для описания таких явлений в объективной действительности дает теория вероятностей.

2.1.1. Теория вероятностей, основные понятия и определения

Событием (или «случайным событием») называется всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти.

Вероятностью события называется численная мера степени объективной возможности этого события. Вероятность события А обозначается Р(А).Вероятность любого события А заключается между нулем и единицей,0 £ Р(А)£ 1.

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять, то или иное значение, но неизвестно заранее, какое именно.

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Функцией распределения случайной величиныХ называется функция F(х), выражающая вероятность того, что Х примет меньшее значение, чем х: F(x) = P(X<x). Функция F(x) – неубывающая функция F(-¥)=0, F(+¥)=1 (рис. 2.1).

Рис. 2.1. Функция распределения

Плотностью распределения случайной величины называется функция f(x) = F ¢(x).

Плотность распределения любой случайной величины неотрицательна, f(x)>0, и обладает свойством . График плотности f(x) называется кривой распределения.

Функция распределения F(x) выражается через плотность распределения формулой . Вероятность попадания случайной величины Х на участок от a до b выражается формулой P(a<X<b)=F(b)-F(a) или .

Математическим ожиданием случайной величины Х называется ее среднее значение, вычисляемое по формуле:

Средним квадратичным отклонением (разбросом) случайной величины называется .

Равномерное распределение.

Случайная величина называется равномерно распределенной на [a,b],если ее плотность вероятности на [a,b]постоянна, а вне [a,b]равна 0 (рис. 2.2). Так как то

Рис. 2.2. Равномерное распределение

Математическое ожидание и разброс случайной величины, равномерно распределенной на участке [a,b], равны и

Вероятность отказа любого устройства зависит от срока его службы, однако в течение конкретного отрезка времени, например, суток, отказ может произойти с равной вероятностью в любое время.