Пластическое плоское деформированное состояние.

Расмотрение задачи будем вести в рамках теории пластического течения Сен-Венана. Вспомним некоторые постулатыэтой теории: в пластической области материал несжимаем, поэтому тензор деформаций совпадает с девиатором деформаций; девиатор скоростей деформаций сдвига пропорционален девиатору напряжений ( (5.8 Л.7) ). Проекци скоростей на X,Y, Z, как обычно, будем обозначать u, v и w соответственно. Предположение плосской задачи заключается в том, что скорости изменяются только в плоскости (например XY) и, кроме того, отсутствует скорость в направлении, перпендикулярном этой плоскости: Скорости деформаций определяются по формуле: , поэтому ; следовательно в тензоре деформаций остается три ненулевых компоненты. Из соотношения для девиаторов скоростей деформаций и напряжений (формула (5.8 Л.7)), получаем , то есть в тензоре напряжений остаются четыре компоненты: . Напряжение не равно нулю. Действительно, рассмотрим связь и : , откуда следует, что: , где: . Таким образом .

Найдем главные напряжения в таком тензоре. Для этого вспомним характеристическое уравнение (1.3): . Раскроем этот опредилитель в нашем случае:

Решая квадратное уравнение, находим: .

Третий корень и, как было установлено выше, . Легко видеть, что для найденных напряжений выполняются неравенства: . Будем считать, что рассматриваемый материал идеально пластичный, тогда условие пластичности Сен-Венана зпишутся следующим образом: , где - константа Сен-Венана. Заметим, что если использовать условие пластичности Мизеса, то результат будет тем же, с той лишь разницей, что вместо константы Сен-Венана будет стоять константа Мизеса .

Обозначим угол между осью Х и направлением главного напряжения

через j. Тогда напряжения можно записать так: Выше было напсано условие Сен-Венана, в частности . Теперь введем новую функцию c: . Сучетом последних двух равенств выражения для

напряжений примут следующий вид:

((9.1) Л.10)

Если ввести новую систему координат , повернутую относительно прежней на угол a (см. рис.10.7), то в ней напряжения запишутся так:

((9.2) Л. 10)

Формулы ((9.1)Л. 10) и ((9.2)Л. 10) показывают, что нам удалось выразить три гнизвестные через 2 функции. Это оказалось возможным, очевидно, из-за того, что напряжения были зависимы. Действительно, эти напряжения зависимы, так как должны тождественно удовлетворять условиям пластичности.

Получим уравнения для определения функций j и c. Если не рассматривать массовые силы, то в уравнениях равновесия останется по 2 слагаемых:

и .

Подставляя сюда напряжения из ((9.1)Л. 10), получим:

Эта система из 2-х урвнений равновесия содержит 2-е неизвестные функции, то есть в отличие от упругой задачи, пластическая задача является статически опредилимой.