Предельный крутящий момент.

Теперь появляется возможность решения конкретных задач. Рассмотрим стержень квадратного сечения со стороной 2а. ( рис. 10.5). Как было выяснено выше, существует напряжение, при котором весь стержень переходит в пластическое состояние. Это предельное состояние и будем исследовать. Пунктиром на рис. 10.5 изображены характеристики, перпендикулярные им стрелки –одинаковы по величине напряжения, диагонали квадрата – линии разрыва

напряжений. Опредилим, какой момент, приложеный к стержню соответствует этому состоянию. Для этого рассмотрим треугольник OAB. Напряжения в нем постоянны и параллельны стороне AB. Площадь треугольника , следовательно сила действующая на него , где - предельное касательное напряжение. Путем несложного интегрирования опредилим момент, создаваемый этой силой (рассматривается треугольник OAC): .

Итак, искомый предельный момент - .

Теперь найдем предельный момент в случае круглого стержня (рис. 10.6). Стержень полностью перешел в пластичное состояние, поэтому напряжения, возникающие в нем, не зависят от радиуса.

Зададим контур стержня: Где а- радиус, а a- угол между касательной к окружности и осью х. Предельное напряжение , следовательно его компоненты: В данном случае функция тождественно равна нулю (см.(7.11)): Поэтому (см.(7.11)): .

Обозначив текущий радиус через r, получим:

.

Предельный момент определяем по формуле: (из 7.12) где - элемент площади сечения. Подставляя сюда напряжения, выраженные через r, получаем:

.

Наконец, решиим задачу упругого кручения стержня эллиптичекого сечения. Уравнение эллипса, как известно есть: . Тогда решение уравнения Пуассона (7.7 (Л.9)): будем искать в виде: . Условию на контуре j=0 это решение, очевидно, удовлетворяет. Для определения константы А подставим его в уравнение, откуда находим: . Далее, вспоминая как вводилась функция j, получаем: Отсюда видно, что если взять любую прямую, проходящую через начало координат, то вдоль этой прямой напряжения изменяются по линейному закону, достигая максмума на контуре, причем напавления напряжений, параллельны касательной, проведенной в точке пересечения прямой и контура. Опредилим крутящий момент: , где интеграл берется по эллипсу. Подставляя напряжения и переходя к полярным координатам ( x=arcosa, y=brcosa ), получаем: .

В случае окружности (b=a) , и, следовательно момент: .