Метод Неймана

Рассмотрим случайную величину x , определенную на интервале [а, в] с плотностью распределения f(х). Причем плотность распределения ограничена сверху f (х) < С .

Теорема. Пусть g₁ и g₂ независимые, равномерно распределенные на интервале [0, 1] случайные числа. Случайная величина x, определенная соотношениями x = x¢/h¢ < f ( x¢ ), где x¢=а + g₁(в-а), h¢= Сg₂ , имеет заданную плотность распределения f(х).

Доказательство.Пустьдвумерная точка с координатами ( x¢, h¢ ) имеет равномерное распределение в прямоугольнике, т.е. ее плотность = [c(b-a)]^-1

Имеем

Рассмотрим числитель, который представляет собой вероятность одновременного выполнения двух условий: точка ( x¢, h¢ ) окажется под кривой плотности распределения и в то же время x¢ < z :

Отсюда

Эффективность метода Неймана равна .

Выбор равномерно распределенных точек в сложных областях

Пусть В - ограниченная область на плоскости х, y , “сложная” с точки зрения вычислительной практики: например, границы на отдельных участках трудно задать в явном виде. Предположим, что существует достаточно простой алгоритм, позволяющий определить, принадлежит ли области В любая заданная точка {х, y} или нет.

Выберем прямоугольник П = {а₁ < х < в₁, а₂ < y < в₂}, содержащий область В

Координаты случайной точки Q¢ = { x¢, h¢ }, равномерно распределенной в прямоугольнике П, легко вычислить:

Для нахождения точек Q, равномерно распределенных в В, можно формировать точки Q¢ , равномерно распределенные в прямоугольнике П и отбирать среди них те, которые принадлежат области В.

Эффективность такого метода равна отношению площадей области G и прямоугольника П