Метод обратных функций

Полной характеристикой непрерывной случайной величины является закон распределения, заданный функцией распределения или плотностью распределения.

Обозначим F(х) - функцию распределения случайной величины x.

Теорема об обратных функциях

Случайная величина x, удовлетворяющая условию :

F ( x ) = g , (1)

имеет заданный закон распределения (х).

Доказательство теоремы.

.

Пример.

Задана случайная величина x с законом распределения = 1-e^-l×х на интервале [ 0< х < ¥ ]. Получим соотношение для моделирования значений величины x.

На основании метода обратных функций можно записать следующее соотношение:

F ( x ) = g или 1 - e^-lx = g .

Заметим, что поскольку случайная величина (1 - g ) имеет то же распределение, что и g , выражение для формирования случайной величины x можно упростить:

1 - e^-lx = 1 - g , откуда

Нередко метод обратных функций приводит к сложным или просто неудобным алгоритмам. Например, для того, чтобы формировать значения случайной величины с нормальным распределением (с параметрами [0, 1]), приходится решать уравнение

В таких случаях обычно используют методы формирования значений случайных величин, связанные с другими преобразованиями равномерно распределенных чисел g.

Метод суперпозиций

Пусть задана функция распределения F (х) случайной величины x, которая может быть представлена следующим образом: , т.е. в виде смеси некоторых функций распределения F_K (х), а сумма всех коэффициентов С_К равна 1:

Введем в рассмотрение дискретную случайную величину h, задав ее рядом распределения

Пусть g₁ и g₂ - независимые равномерно распределенные случайные числа. Если по числу g₁ произвести выбор интервала (значения случайной величины h = к), а по числу g₂ в результате решения уравнения F_K( x ) =g₂ определить величину x, то величина x будет иметь заданный закон распределения F(х).