Экономико-математические методы и модели

1. Двойственные оценки.

2. Применение MS Excel для решения ЗЛП.

Понятие математического моделирования и модели. Экономико-математические модели (ЭММ).

Математическое моделирование – описание основных свойств реального объекта, происходящих в нем процессов, внутренних и внешних связей влияющих на эти процессы в виде математических формул с целью исследования данного объекта.

Все модели делятся на две группы: физические и абстрактные. Математические модели относятся ко второй группе.

Экономико-математическая модель – совокупность формул, описывающая процессы, происходящие в реальном экономическом процессе. ЭММ классифицируются:

1) По целевому назначению: теоретико-аналитические и прикладные;

2) По характеру причинно-следственных связей: детерминированные и недетерминированные;

3) По уровню экономических систем: производственные и социально-экономические;

4) По способу отражения фактора времени: статические и динамические;

5) По форме математических зависимостей: линейные и нелинейные;

6) По степени агрегированности модели: микромодели и макромодели.

Принципы построения ЭММ:

1) Принцип достаточности исходной информации;

2) Принцип однозначности информации;

3) Принцип преемственности;

4) Принцип эффективности.

Этапы построения ЭММ и экономико-математические методы.

Этапы:

1) Постановка проблемы и ее качественный анализ

2) Построение экономико-математической модели

3) Выбор метода решения

4) Подготовка исходной информации

5) Численная модель решение

6) Анализ результатов (возможен возврат к любому из предыдущих пунктов)

Методы:

1) Линейное программирование – прогнозирование, календарное планирование, планирование перевозок, балансовые расчеты.

2) Дискретное программирование (целочисленное) – планирование и прогнозирование

3) Динамическое программирование – планирование, прогнозирование, балансовые расчеты, управление запасами, ...

4) Математическая статистика – прогнозирование и статистические расчеты

5) Теория игр – конфликтные ситуации и управление запасами

6) Теория управления запасами – управление запасами

7) Теория массового обслуживания – задачи обслуживания

8) Стохастическое программирование – календарное планирование и задачи обслуживания

9) Нелинейное программирование – планирование и прогнозирование

10) Теория граф – календарное планирование

Общая постановка задач линейного программирования.

Все задачи решаемые методом линейного программирования можно разделить на 4е группы:

1) Задача об оптимальном использовании ресурсов

2) Задача о смесях (задача о составе продуктов)

3) Транспортные задачи

4) Задача о рюкзаке или управление товарно-материальными запасами

Любая задача линейного программирования состоит:

1) Целевая функция, которая выражает критерий оптимальности поставленной задачи

2) Функциональные ограничения переменных – система линейных уравнений и неравенств, которая описывает условия, накладываемые на экономический объект

3) Неотрицательность переменных

Примеры задач линейного программирования (ЗЛП).

Общая постановка ЗЛП:

Найти такие объемы производства xi при условии ограниченности ресурсов bj, которые удовлетворяли бы заданным ограничениям и критерию оптимальности. В качестве критерия оптимальности используется понятие эффективности, которое может выражаться в вычислении максимальной прибыли, максимального дохода, максимального объема производства, минимальных затратах, минимальной себестоимости и т.д. В формальном виде математическая модель ЗЛП выглядит след. Образом:

F(x)=c1x1+c2x2+…+cnxn (1)

Ограничения

Условие неотрицательности переменных

Задача об оптимальном использовании ресурсов при производственном планировании

Компания по выпуску спортинвентаря производит клюшки и шахматные наборы. Прибыль от одной клюшки 2$, а от шахматного набора 4$. Для их производства требуется работа оборудования на участках А, В и С.

Затраты работы оборудования:

Доступная производственная мощность участков:

А – 120н-часов в день

В – 72н-часов в день

С – 10н-часов в день

Вопрос: Сколько клюшек и шахматных наборов должна выпускать компания ежедневно, чтобы получать максимальную прибыль?

Пусть х1 –количество выпускаемы ежедневно клюшек, а х2 – выпускаемых ежедневно шахматных наборов.

Целевая функция максимум прибыли

F(xсреднее)=2х1+4х2->max

х1>=0, x2>=0.

Графическое решение ЗЛП.

Графическое решение задачи:

Порядок решения:

· Сформулировать задачу

· Построит на плоскости прямые, уравнения которых получаются в результате замены в ограничениях знака неравенства на знак равенства

· Найти полуплоскости, определяемые каждым из ограничений задачи

· Найти область допускаемых решений

· Построить прямую с1х1+с2х2=h, где h – любое положительное число, желательно такое, чтобы проведенная прямая проходила через многоугольник решений

· Перемещать найденную прямую параллельно самой себе в направлении увеличения (при поиске максимума) или уменьшения (при поиске минимума) целевой функции

· Определить координаты точки максимума (минимума) функции и вычислить значение функции в этой точке.

(1)

(2)

A B (3)

C (4)

О F(xсредн) D

4х1+6х2=120

Х1=30 х2=0

Х1=0 х2=20

2х1+6х2=72

Х2=12-1/3х1

Многоугольник ОАВСD – область допустимых решений, в которой нам надо найти одну единственную точку через которую проходит прямая целевой функции. Это и будет оптимальное решение.

Если не получается замкнутого многоугольника области допустимых решений, это значит что в задаче не хватает ограничений и целевая функция будет бесконечно увеличиваться или бесконечно уменьшаться.

Если не находится варианта, когда прямая целевой функции проходит только через одну точку области допустимых решений, говорят что задача не имеет оптимального решения.

2х1+4х2=20

Х2=5-1/2х1

Очевидно, что такой точкой будет точка С. Ее координаты (24;4). Это и будет оптимальным решением. При этом значение прибыли 64$.

Решение в Excele

=СУММПРОИЗВ($В$4:$С$4;В5:С5) в D5

Задача о смесях (планирование состава продукции)

На птицеферме необходимо составить суточный рацион кормления птиц из корма 1 и корма 2. Ежедневно каждая птица должна потреблять не менее 1кормовой единицы питательного вещества А, 4х кормовых единиц питательного в-ва В и 1корм ед пит в-ва С. Содкржание питательных в-в в каждом виде корма след: корм 1 – А1, В1, С1. Корм2 – А4, В2. Цена корма1 – 2р, корма2 – 4р. Найти самый дешевый кормовой рацион удовлетворяющий зоотехническим требованиям.

Решение:

Х1 – к-во корма1

Х2 – к-во корма2

F(xсреднее)=2х1+4х2->min

х1>=0, x2>=0.

Транспортная задача

Под транспортной задачей понимают целый ряд задач имеющих специфическую структуру. Наиболее простыми из них являются задачи по перевозке однородного груза из мест хранения к местам назначения с целью минимизации расходов. Многие задачи сводятся к структуре транспортной. Например, задача о перемещении работников с должности на должность внутри организации или задача об оптимальном размещении производства.

Данные задачи бывают закрытого типа, когда общая сумма груза в местах хранения равна сумме груза заявки. В этом случае все ограничения будут равенствовать и открытого типа, когда объем груза в местах хранения больше или меньше потребностей. В этом случае часть ограничений будет не равенственны. Все ограничения делятся на две группы:

1) Описывает наличие груза в местах хранения

2) Ограничивает объем потребления

Пример: Три поставщика однородного продукта располагают следующими его запасами:

1) 120т

2) 100т

3) 80т

Этот продукт должен быть перевезен к трем потребителям, потребности которых соответственно:

1) 90т

2) 90т

3) 120т

Затраты на перевозку единицы груза от каждого поставщика к каждому потребителю задаются матрицей:

Составить оптимальный план перевозок с целью минимизации транспортных расходов.

Решение: введем обозначение переменных

Хij – количество груза перевозимого от i-того поставщика к j-тому потребителю. Т.о. у нас будет 9 переменных.

Проверяем открытого или закрытого типа задача:

120+100+80=300

90+90+120=300

300=300

7Х11+6Х12+4Х13+3Х21+8Х22+5Х23+2Х31+3Х32+7Х33->min

Х11+Х12+Х13=120

Х21+Х22+Х23=100

Х31+Х32+Х33=80

Х11+Х21+Х31=90

Х12+Х22+Х32=90

Х13+Х23+Х33=120

Хij>=0

Предположим, у первого поставщика имеется продукта в наличии 150т, тогда у поставщиков общая сумма груза 330т, а потребителям необходимо 300т. Следовательно 30т будет не вывезено от поставщиков. В математической модели

это условие отображается в виде неравенства <= в трех первых ограничениях.

Х11+Х12+Х13<=150

Х21+Х22+Х23<=100

Х31+Х32+Х33<=80

Предположим другой вариант. У поставщиков так и остается 300т, а потребителям требуется 350т за счет увеличения потребности первого потребителя с 90 до 140. В этом случае от поставщиков груз будет вывезен полностью, а кто-то из потребителей его недополучит в общей сумме в 50т. Это условие отражается в трех последних ограничениях в виде знака <=.

Х11+Х21+Х31<=140

Х12+Х22+Х32<=90

Х13+Х23+Х33<=120

Задача: Для пошива одного изделия требуется выкроить из ткани 6 деталей. На швейной фабрике разработано 2 варианта раскроя. Ежемесячный запас ткани составляет 405 кв.м. Поставляется отрезами по 10 квадратных метров. В ближайшие месяцы планируется сшить 90 изделий. В таблице приводятся для каждого варианта раскроя отреза ткани, какое количество деталей каждого вида можно выкроить и отход с одного отреза.

Построить математическую модель позволяющую выполнить месячный план по пошиву с минимальным количеством отходов.

Решение: введем переменные: Х1 – количество отрезов раскроенных первым способом. Х2 – количество отрезов раскроенных вторым способом. Целевая функция min отходов.

0,5Х1+0,35Х2->min

Ограничения по производству каждого вида деталей.

60Х1+80Х2>=90

35X2>=180

90X1+20X2>=180

40X1+78X2>=180

70X1+15X2>=180

90X1>=180

405/10=40,5

X1+X2<=40,5

X1>=0

X2>=0

Создание БД

Теория линейного программирования позволяет не только получать оптимальные решения, но и делать ряд экономических выводов основанных на свойствах двойственных оценок. Любая задача линейного программирования имеет двойственные себе, результатом решения которых являются переменные, называемые двойственными оценками.

Алгоритм построения двойственной задачи:

1) Если в условиях задачи целевая функция ищется на max, то в двойственной на min

2) Коэффициенты при переменных в целевой функции прямой задачи становятся свободными членами ограничений двойственной

3) Все знаки ограничений меняются на противоположные

4) Число неравенств в системе ограничений одной задачи совпадает с числом переменных другой задачи

5) Коэффициенты при переменных в ограничениях одной задачи для другой задачи транспонируются, т.е. коэф-ты первой строки становятся коэф-тами первого столбца

6) Условие не отрицательности переменных присутствует в одной и в другой задаче

Рассмотрим на примере:

F(xсреднее)=2х1+4х2->max

х1>=0, x2>=0.

Y1 y2 y3

Z(y)=120y1+72y2+10y3->min

4y1+2y2>=2

///

///

Значение целевой функции двойственной задачи Z(y) в результате решения равно 64. Значение переменных y1=1/3, y2=1/3, у3=0.

Свойство 1: двойственная оценка выступает как мера дефицитности ресурса. Чем выше значение оценки, тем выше дефицитность этого ресурса. В нашем примере у1 и у2 показывают дефицитность ресурсов рабочего времени по участкам А и В. У3=0 говорит о том, что ресурс рабочего времени на участке С избыточен.

Свойство 2: оценка является мерой влияния изменения объема ресурса на значение целевой функции. Так же ее называют теневой ценой ресурса. Она показывает на сколько возрастет целевая функция если объем имеющегося ресурса увеличить на одну единицу. Например, оценка у1=1/3 показывает, что если мы на участке А объем ресурса увеличим на 12 нормо-часов, то значение целевой функции вырастет на: 12*1/3=4$

Свойство 3: оценка – инструмент определения эффективности отдельных хозяйственных операций. С ее помощью можно определить, выгоден ли выпуск новой продукции при имеющихся ресурсах или выгодно ли внедрение новой технологии при производстве той же технологии. Эффективность определяется исходя из того что нам выгоднее потратить ресурсы на производство новой продукции или продать их по теневой цене на рынке.

Пример: пусть планируется изготавливать бейсбольные биты. Для производства одной биты требуется 3часа на участке А, 4ч - на В и 1ч на участке С. Прибыль от одной биты 3$.

Вычисляем прибыль от продажи ресурса на рынке: 3*1/3+4*1/3+1*0=2,1/3

2,1/3<3

Биты производить выгодно.

Свойство 4: оценки выступают как мера относительной заменяемости ресурса с точки зрения конечного эффекта. Например, отношение Yi/Yk показывает сколько единиц k-того ресурса может быть высвобождено при увеличении объема i-того ресурса на единицу продукции для того чтобы максимум целевой функции остался на прежнем уровне и наоборот. В нашем примере оценки y1 и y2 равны. Это означает, что при уменьшении фонда времени на участке А на 1 нормо-час необходимо увеличить фонд времени ау участке В на 1 нормо-час, чтобы прибыль равная 64$ осталась неизменной.