Матричные (межотраслевые, балансовые) модели

Общая структура межотраслевого баланса

При построении межотраслевого баланса каждая отрасль рассматривается как производящая и потребляющая. Модель строится в виде следующей структуры:

распределение квадрантов в таблице по жирным линиям

Баланс состоит из 4х разделов (квадрантов).

Первый квадрант – таблица межотраслевых связей. Хij показывает объем продукции i-той отрасли, потребляемой для производства в j-той отрасли. Сумма элементов i-той строки представляет собой продукт i-той отрасли, который направляется на дальнейшее производство. Сумма по столбцу представляет собой материальные издержки j-той отрасли.

Второй квадрант содержит конечную продукцию отрасли обозначенную как Yi. Под конечной продукцией понимается часть продукции, которая направляется на личное потребление, общественное потребление, пополнение запасов, накопление, возмещение потерь и экспорт. Второй квадрант характеризует структуру национального дохода.

В рамках первого и второго квадранта рассчитывается валовая продукция по каждой отрасли.

(формула 1)

Третий квадрант отражает стоимостную структуру валового продукта j-той отрасли. Здесь Vj обозначает условно чистую продукцию, которая включает в себя чистый доход отрасли, затраты на оплату труда и амортизацию. Значения валовой продукции Xj такие же, как в столбце валовая продукция Xi. Таким образом, условно чистая продукция находится как (формула 2). Из соотношений 1 и 2 можем записать (формула 3). Просуммируем в выражениях 3 1ю формулу по i, а вторую по j. Получим: (формула 4). Т.к. общая сумма валового продукта по всем отраслям как по потребляющим, так и по производящим отраслям равна, из выражений 4 мы можем получить равенство: (формула 5).

Убираем одинаковые слагаемые в выражении 5. У нас остается ... .

Т.е. суммарный конечный продукт народного хозяйства будет равен суммарной условно-чистой продукции.

В четвертом квадранте отражается конечное распределение национального дохода на доходы населения, предприятий, государства и показывает направление его использования на потребление и накопление. В том числе и ... . Он представляет из себя отдельную большую матричную модель и при построении межотраслевого баланса не рассматривается.

Статическая межотраслевая модель

Статические межотраслевые модели используются для разработки планов выпуска и потребления продукции. При построении модели делают следующие предположения:

1) Все продукты, производимые одной отраслью, рассматриваются как единое целое

2) В каждой отрасли имеется единая технология производства

3) Не допускается замещение одного сырья другим

4) Нормы производственных затрат остаются постоянными на протяжении заданного малого промежутка времени

При этих предположениях величина Хij м.б. представлена следующим образом.

(картинка. формулы. Формула 6)

Здесь коэффициент аij называют коэффициентом прямых материальных затрат. Он показывает, какая часть от общего валового продукта j-той отрасли расходуется на производство единицы продукции во всех других отраслях. Подставляя выражение 6 в уравнение 1 получают (формула 7). В матричном виде это запишется как: Х=АХ+Y (8).

Коэффициенты прямых материальных затрат являются основными параметрами межотраслевой модели. Их значения могут быть получены двумя путями:

1) Статически – коэффициенты определяются на основе анализа отчетных балансов запрошлые годы.

2) Нормативно – для каждой отрасли разрабатываются нормативы затрат и на их основе рассчитываются средне-отраслевые коэффициенты.

Как правило коэффициенты прямых материальных затрат не меняются во времени.

Преобразуем выражение 8:

Х-АХ=Y

Х(Е-А)=Y

Х=(Е-А)^-1*Y

В=(Е-А)^-1 (в степени -1)

Х=ВY (9)

Выражение 9 имеет решение если матрица А прямых материальных затрат соответствует следующим условиям:

1) Все коэффициенты аij>=0

2) Сумма коэффициентов аij по любому столбцу матрицы меньше 1

Матрицу В называют коэффициентами полных материальных затрат. Коэффициент bij показывает какой должен быть выпуск валовой продукции i-той отрасли для того чтобы обеспечить выпуск единицы конечной продукции j-той отрасли.

Модель межотраслевого баланса затрат труда

Модель межотраслевого баланса затрат труда

Предполагается, что труд выражается в единицах труда одинаковой степени сложности. Обозначим затраты живого труда в производстве j-того продукта через Lj. Тогда коэффициент прямых затрат труда tj=Lj/Xj

Определим полные затраты труда как сумму прямых затрат труда и затрат овеществленного труда, т.е. перенесенного на продукт через израсходованные средства производства и обозначим через Тj. В этом случае Тj= , где аijTj выражает затраты овеществленного труда через i-тое средство производства.

Запишем в матричном виде: Т=АТ+t

Преобразуем: T-AT=t

T(E-A)=t

Отсюда: T=(T-A)^-1*t

T=Bt

Модель межотраслевого баланса основных фондов

Межотраслевой баланс фондов

Будем рассматривать фонды как единую величину. Пусть в j-той отрасли задействовано для производства валовой продукции Fj фондов. Тогда на производство единицы валовой продукции приходится фондов в количестве fj=Fj/Xj

Fj называют коэффициентами прямой фондоемкости. Коэффициенты полной фондоемкости Fi обозначает объем фондов во всех отраслях, который необходим для выпуска единицы валовой продукции i-той отрасли.

Можно записать используя коэффициенты прямых материальных затрат что Fj=

В матричном виде: F=AF+f

F-AF=f

F(E-A)=f

F=Bf

Использование коэффициентов фондоемкости позволяет увязать планируемый объем выпуска продукции с имеющимися производственными мощностями.

Пример расчетов с использованием балансовой модели

Пример расчетов с использованием балансовой модели

Пусть задана для трех отраслей матрица прямых материальных затрат:

А=

Необходимо произвести на потребление и накопление конечную продукцию в объеме:

Y=

Коэффициенты прямой трудоемкости на производство единицы продукции в каждой отрасли равны:

t=

Коэффициенты прямых затрат фондов на производство единицы продукции равны:

f=

Требуется составить межотраслевой баланс производства и распределения продукции, баланс труда и баланс фондов, чтобы обеспечить потребности общества в конечном продукте.

Решение:

Х=(Е-А)^-1*Y

E-A=

(Ctrl+Shift+Enter – нажимаем при вводе формулы работающей с блоками ячеек в Excel)

(E-A)^-1=

X=B*Y= (МУМНОЖ)

Х=

Из рассчитанного объема ВП находим значение Хij межотраслевых потоков.

х11=а11*Х1=0,1*704=70,4

х12=а12*Х2=...

х13=а13*Х3=...

х21=а21*Х1=...

х22=...

х23=...

х31=...=0,5*704=352

х32=...=0,1*1045=105

х33=...=0,3*1080=324

Пояснения к таблице: значение валовой продукции из последнего столбца переносим в валовую продукцию последней стоки. Считаем суммы по столбцам и заносим в таблицу. Вычисляем УЧП как разность между валовой продукцией и суммой по столбцу (ВП-∑). Общая сумма конечного продукта должна быть равна общей сумме УЧП.

Расчет баланса труда

Затраты живого труда необходимые для выпуска единицы продукции одной отрасли называются коэффициентами прямой трудоемкости и обозначаются как t=(t1,t2,t3)

Коэффициенты полной трудоемкости равные сумме прямого и овеществленного труда на единицу продукции обозначаются через T=(T1,T2,T3)

Связь между этими коэффициентами выражается формулой: T=tB

Т.о. Т=(1.2, 1.4, 1.9)

Т1=7,74

Т2=6,22

Т3=7,81

Таблица – Межотраслевой баланс труда

Пояснения: межотраслевые затраты живого труда в таблице вычисляются как:

хij * ti

70,4*1,2=84,5

Х12*t1=209*1,2=251

324*1,2=389

Х21*t2=211*1,4=295

Х22*t2=418*1,4=585

И т.д.

Затраты труда в отраслях вычисляются как ti*Xi

T1*X1=1,2*704=845

t2*X2=1,4*1045=1462

t3*X3=1,9*1080=2055

затраты труда на конечную продукцию вычисляются как разность между затратами труда в отраслях и суммой по строке межотраслевых затрат труда.

845-(84,5+251+389)=120

Расчет баланса фондов

Коэф-ты прямой фондоемкости по трем отраслям обозначим как f=(f1, f2, f3) – дается по условию задачи.

Коэффициент полной фондоемкости обозначим как F=(F1, F2, F3)

F=fB

Рассчитываем полную фондоемкость.

F1=8,12

F2=7,25

F3=7,27

Для заполнения средней части таблицы вычислим x11*f1=70,4*1,5=106

x12*f1=209*1,5=314

и т.д.

последний столбец вычисляется как fi*Xi

Т.о. в результате расчетов мы получили межотраслевые потоки продукции направляющиеся на дальнейшее производство в другие отрасли, рассчитали объемы производства валовой продукции по трем отраслям, рассчитали затраты труда на ВП по отраслям и общую фондоемкость по каждой отрасли.