Теоремы о дифференцируемых функциях

Терема Ролля. Пусть функция дифференцируема на интервале , причем , тогда найдется хотя бы одна точка внутри интервала, в которой производная функции обращается в нуль, то есть , .

Теорема дается без доказательства, ограничимся общими рассуждениями.

Если , то во всех точках интервала.

Пусть переменная и имеет одинаковые значения на границах интервала, тогда она обязательно принимает на рассматриваемом отрезке наибольшее и наименьшее значения, оба они не могут оказаться на границе отрезка (тогда они совпадают, что возможно только при ). Пусть одно из них находится во внутренней точке интервала . Если это наибольшее значении, то при подходе к указанной точке функция возрастает, угол наклона касательной острый и тангенс этого угла положителен, после этой точки кривая убывает, угол наклона касательной тупой, его тангенс отрицателен. Производная, проходя точку , меняет знак, и поскольку она существует, то не может в этой точке отличаться от нуля.

Теорема конечных приращений Лагранжа. Если функция дифференцируема на интервале , то

где . (Без доказательства).

Теорема Коши. Если функции и дифференцируемы на интервале и , то .

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию

.

Она дифференцируема, так как кроме функций и в нее входят только постоянные, причем, , то есть удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. Тогда , теорема доказана.

Замечание. При формулировке теоремы не следовало добавлять условие , так как оно следует из теоремы Лагранжа.