Колебания в LC-контуре

Рассмотрим цепь, состоящую из последовательно соединенных резистора , конденсатора и индуктивности , которую можно подключать к источнику постоянного тока, закоротить, или подключать к источнику переменного напряжения, меняющегося по гармоническому закону (рис.41.1).

Рис.41.1

Подключим к цепи источник постоянного тока. После завершения переходных процессов конденсатор зарядится до максимального заряда . Затем в момент времени отключим источник и закоротим контур. В произвольный момент времени сумма падения напряжения на резисторе и напряжения на конденсаторе будет равна ЭДС индукции, возникающей в индуктивности:

.

Для заряда конденсатора из этого уравнения получим следующее однородное дифференциальное уравнение второго порядка:

.

Это уже знакомое нам (Механика, 19.3) уравнение гармонического осциллятора с затуханием. После подстановки получаем характеристическое уравнение , корни которого:

.

Если , то наблюдаем быстро затухающий апериодический процесс

. (41.1)

Постоянные интегрирования определим из начальных условий и :

. (41.2)

Заряд конденсатора меняется в этом случае со временем так, как показано на рис.41.1.

Если , то корни характеристического уравнения мнимые, и мы получаем решение в виде:

,

где постоянные интегрирования определяются аналогично (41.2), только знак выражения под корнем противоположный. Если , то и окончательное решение мы можем записать в виде:

, (41.3)

где - коэффициент затухания, а - частота собственных колебаний в - контуре с затуханием. Использовав связь , получим уравнение аналогичное (41.3), которое будет описывать колебания напряжения на конденсаторе. Их мы можем наблюдать на экране осциллографа (рис.41.2)

Рис.41.2

Если пренебречь затуханием, которое обусловлено джоулевыми потерями энергии в сопротивлении , посчитав его равным нулю, то собственная частота колебаний в идеальном - контуре будет равна .

Напомню другие характеристики гармонического осциллятора с малым затуханием: логарифмический декремент затухания

; (41.4)

добротность осциллятора, которая в случае - контура с затуханием будет равна:

. (41.5)

Вынужденные колебания в - контуре мы будем наблюдать, если подключим его к источнику переменного напряжения (рис.41.1). В этом случае контур будет называться последовательным контуром. Если через резистор к источнику подключить параллельно соединенные емкость и индуктивность, то такой контур будет называться параллельным контуром.

Пусть напряжение источника меняется по гармоническому закону . Дифференциальное уравнение, описывающее колебания заряда (или напряжения) конденсатора, будет полностью совпадать с уже решенным нами дифференциальным уравнением для вынужденных колебаний гармонического осциллятора (20.2, Механика):

, (45.6)

где .

Амплитуда установившихся колебаний напряжения на конденсаторе будет равна (используем те же обозначения, что и в §20, Механика):

. (45.7)

Сдвиг фазы колебаний напряжения на конденсаторе относительно колебаний напряжения источника равен:

. (45.8)

При видно, что , сдвиг фазы стремится к 0. При

резонансе, когда , для амплитуды установившихся колебаний получим следующее значение:

.

Видим, что при малом затухании отношение амплитуды колебаний при резонансе к амплитуде колебаний напряжения при равно добротности колебательного контура.