Сети переменного тока

После внедрения электричества в повседневную жизнь электрические цепи постоянного тока были очень быстро заменены цепями переменного тока. Это связано с простотой преобразования напряжения в сети. Для уменьшения потерь передавать электрическую мощность выгоднее при повышенном напряжении, а использовать электрические цепи с напряжением выше нескольких сотен вольт опасно. Поэтому на электростанции переменное напряжение генератора повышается трансформатором ,передается по сети, а у потребителя понижается также трансформатором до безопасного уровня. В “старом свете” стандартное напряжение в сети имеет амплитудное значение В и частоту 50 Гц. В “новом свете” напряжение в сети имеет амплитудное значение В и частоту 60 Гц.

Для анализа цепей переменного тока рассмотрим генераторы переменного напряжения, трансформаторы и различные нагрузки. Реальные нагрузки обычно представляют в виде эквивалентной схемы, состоящей из идеальных конденсаторов, индуктивностей и резисторов. Эквивалентные схемы, представляющие какой-то объект, могут существенно различаться в разных частотных диапазонах. Например, хорошо известный Вам соленоид в сети переменного тока частотой 50 Гц может быть заменен эквивалентной схемой из последовательно соединенных идеальных индуктивности и резистора (рис.42.1а). При анализе схемы с такой же индуктивностью на большей частоте может понадобиться учитывать межвитковую емкость, тогда эквивалентная схема может выглядеть так, как показано на рис.42.1b.

Рис.42.1

Генераторы переменного напряжения могут быть различными по конструкции. Один из возможных генераторов очень незначительно отличается от уже рассмотренного нами генератора постоянного тока (рис.39.1). Рамка подключается не к коллекторам в виде полуколец, а к двум изолированным кольцам, напряжение с которых снимается щетками. Напряжение генератора меняется по гармоническому закону с частотой, равной частоте вращения вала: .

Трансформатор представляет собой две катушки, намотанные на одном общем сердечнике с большой магнитной проницаемостью (рис.42.2).

Рис.42.2

Поскольку каждый виток катушки пронизывает одинаковый магнитный поток, то, пренебрегая падением напряжения на активном сопротивлении обмоток, можем утверждать, что , , а их отношение равно отношению числа витков в обмотках: . Таким образом, используя трансформаторы с разным числом витков в обмотках, мы можем и увеличивать и уменьшать амплитудное значение переменного напряжения в сети.

Основные задачи, которые мы решаем при анализе цепей переменного тока, заключаются в отыскании амплитудных значений тока и напряжения на различных элементах цепи, а также фазовых сдвигов токов и напряжений.

Если подать напряжение на идеальный резистор, то ток через него по фазе будет совпадать с напряжением: . Строго говоря, это утверждение связано с тем, что время релаксации свободных носителей тока должно быть много меньше периода колебаний напряженности поля в проводнике . Конечно, это условие выполняется для цепей переменного тока с частотой 50 Гц.

При подключении к источнику переменного напряжения идеального конденсатора, напряжение на нем будет равно напряжению источника . Ток через него найдем дифференцированием по времени заряда конденсатора:

.

Видим, что ток через конденсатор опережает по фазе напряжение на нем на . Связь амплитудных значений тока и напряжения позволяет определить емкостное сопротивление:

. (42.1)

При подключении к источнику переменного напряжения идеальной индуктивности, напряжение на ней будет равно ЭДС индукции:

, откуда может быть определен ток через индуктивность . Видим, что ток через индуктивность отстает по фазе от напряжения на ней на . Связь амплитудных значений напряжения и тока позволяет определить индуктивное сопротивление:

. (42.2)

Если напряжение на каком-либо элементе схемы равно , а ток через этот элемент сдвинут по фазе на , то средняя мощность, выделяющаяся в нем, будет равна:

. (42.3)

В идеальной индуктивности и конденсаторе электрическая мощность выделяться не может, поскольку фазовый сдвиг тока относительно напряжения для них равен .

В сопротивлении будет выделяться мощность . Обычно, когда говорят о напряжении в сети переменного тока, то имеют в виду не амплитудное его значение , а эффективное . В этом случае, выделяющаяся в сопротивлении мощность совпадает с мощностью в сети постоянного тока с таким же напряжением.

Поскольку при анализе цепей переменного тока одновременно приходится определять и амплитуды и фазы, очень удобным будет использование комплексных чисел. Например, активному сопротивлению соответствует действительное число , емкостному сопротивлению соответствует мнимое число , а индуктивному сопротивлению соответствует мнимое число . Ток в цепи (для примера рассмотрим цепь из последовательно соединенных идеальных резистора, конденсатора и индуктивности) будет также комплексной величиной :

.

Откуда амплитудное значение силы тока равно:

.

Иногда для анализа цепей переменного тока используют векторные диаграммы, не используя комплексных чисел. С каждым током (или напряжением) связывают вектор, модуль которого равен амплитудному значению тока (напряжения), а направление задается фазовым сдвигом.

Для рассмотренного примера векторная диаграмма напряжений показана на рис.42.3а.

Рис.42.3

Решим задачу о согласовании нагрузки с источником переменного напряжения. В цепи постоянного тока мы для этого могли использовать только последовательное сопротивление , в котором часть мощности терялась. В цепи переменного тока для согласования мы можем использовать либо емкость, либо индуктивность. В этом случае дополнительных потерь не появится. Пусть у нас есть лампа (или электронагреватель) с активным сопротивлением , рассчитанная на напряжение (эффективное), потребляемая мощность . Нам ее необходимо включить в сеть с переменным напряжением , причем напряжение в сети больше напряжения . Определим емкость последовательно подключаемого для согласования конденсатора (рис.42.3b). Амплитудное значение силы тока в цепи будет равно:

.

Падение напряжения на сопротивлении должно быть равно допустимому напряжению :

.

Искомая емкость будет равна:

.

Сдвиг фазы колебаний тока от фазы колебаний напряжения в цепи будет равен .

Поскольку в наших квартирах используются, в основном, нагрузки с активным сопротивлением, то проблем со сдвигом фаз тока и напряжения не возникает. В промышленности же, если основные потребители электрической энергии – электродвигатели, то может возникнуть значительный сдвиг фазы. Регулирование (уменьшение) сдвига фазы колебаний напряжения и тока в сети – задача, решаемая включением компенсирующих конденсаторов.

В заключение рассмотрим очень важный элемент сетей переменного тока – передающую линию, которая может представлять собой просто два параллельных проводника (воздушные линии электропередач тока промышленной частоты), либо витую пару, либо коаксиальную линию для передачи информации на частотах до ~ 1 Ггц. Важнейшая характеристика подобной линии емкость и индуктивность единицы длины линии .

Рис.42.4

Генератор переменного напряжения нагружен на передающую линию (для примера, коаксиальный кабель с внутренним проводником радиуса и внешним цилиндрическим заземленным проводником радиуса ) бесконечной длины (рис.42.4а). Пусть и - индуктивность и емкость единицы длины кабеля. Мы их уже определили (выражения 20.5 и 8.3).

Сопротивление такого кабеля, подключенного к генератору, мы можем определить следующим образом. Мысленно выделим начальный кусок кабеля длиной . На эквивалентной схеме цепь, подключенная к генератору, будет выглядеть так, как показано на рис. рис.42.4b. Для общего сопротивления последовательно соединенных индуктивности и цепи из конденсатора и получим уравнение:

.

Решая его и избавляясь от мнимой единицы в знаменателе, получим:

.

Предел этого выражения при

даст нам активное сопротивление, которое называют волновым сопротивлением кабеля. Реактивное сопротивление стремится к нулю, поэтому колебания тока и напряжения в линии будут совпадать по фазе.

Падение напряжения на участке длиной будет равно:

.

Переходя к пределу, получим уравнение:

.

Заряд кабеля на участке равен . Его изменение , обусловленное разностью токов , после перехода к пределу равно:

.

Получили еще одно уравнение:

.

Исключая из этих двух уравнений, например, ток (дифференцируя первое по , второе по ), получим уравнение:

.

Или, если теперь вернуться в Гауссову систему, то уравнение будет выглядеть так:

.

Это хорошо известное нам волновое уравнение, которое описывает волну, бегущую вдоль оси : . Фазовая скорость волны определяется из множителя в правой части уравнения:

. (42.4)

Подставляя значения и , получим фазовую скорость волны в кабеле с вакуумным зазором, равную скорости света с. Если зазор будет заполнен диэлектриком с относительной диэлектрической проницаемостью и магнитной проницаемостью , то фазовая скорость будет равна

.

Мы решили задачу для бесконечно длинного кабеля. Если на другом конце кабеля не будет возникать отраженной волны, то наше решение будет справедливо и для кабеля конечной длины. Для того, чтобы на противоположном конце кабеля не возникало отраженной волны, его надо нагрузить на активное сопротивление, равное волновому сопротивлению кабеля (согласованная нагрузка).