Матричный способ решения систем линейных уравнений. Обратная матрица.

Из курса математики известно, что для каждого числа существует обратное число такое, что произведение . Понятие, аналогичное обратному числу, введено и для квадратных матриц.

Определение. Матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице , если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева, получается единичная матрица: .

Из определения следует, что только квадратная матрица имеет обратную; в этом случае и обратная матрица является квадратной того же порядка.

Однако не каждая квадратная матрица имеет обратную. Если является необходимым и достаточным условием существования числа , то для существования матрицы таким условием является требование: .

Если определитель матрицы отличен от нуля , то такая квадратная матрица называется невырожденной, в противном случае (при ) – вырожденной.

Рассмотрим алгоритм нахождения обратной матрицы.

1. Вычислить определитель исходной матрицы. Если , то матрица – вырожденная, и обратная матрица не существует. Если , то матрица – невырожденная, и обратная матрица существует.

2. Найти матрицу , транспонированную к матрице .

3. Найти алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы ( , ).

4. Из полученных алгебраических дополнений составить присоединенную матрицу .

5. Вычислить обратную матрицу по формуле: .

6. Проверить правильность вычисления обратной матрицы , исходя из ее определения: .

Пример 3.2. Найти обратную матрицу к матрице .

Решение. Найдем определитель исходной матрицы : . Так как , то матрица – невырожденная и обратная матрица существует.

Найдем матрицу , транспонированную к матрице : .

Найдем алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы: , , , .

Из полученных алгебраических дополнений составим присоединенную матрицу : .

Вычислим обратную матрицу: .

Проверим правильность вычисления обратной матрицы : . Аналогично . Следовательно, обратная матрица найдена правильно.

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений, содержащей уравнений с неизвестными:

Такую систему удобно записывать в компактной матричной форме , где – матрица коэффициентов системы, называемая основной матрицей, – матрица-столбец из неизвестных , – матрица-столбец из свободных элементов .