Решение систем линейных уравнений с помощью формул Крамера

Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей уравнений и неизвестных, называется система вида

,

где числа , , называются коэффициентами системы, числа – свободными членами.

Решением системы называется значений неизвестных , , , …, , при подстановке которых все уравнения системы обращаются в верные равенства.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. В последнем случае каждое ее решение называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением.

Решить систему – значит выяснить, совместна она или несовместна. Если система совместна, найти ее общее решение.

Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными:

.

Матрица , составленная из коэффициентов при неизвестных такой системы, квадратная. Определитель этой матрицы

называется определителем системы. Если определитель системы отличен от нуля, то система называется невырожденной.

Теорема Крамера. Пусть – определитель матрицы системы , а – определитель матрицы, получаемой из матрицы заменой столбца столбцом свободных членов. Тогда, если , то система имеет единственное решение, определяемое по формулам: , где .

Примем теорему без доказательства.

Пример 3.1. Решить систему уравнений .

Решение. Найдем определитель системы: . Так как , то система линейных уравнений имеет единственное решение.

Вычислим определители матриц , , , полученных из определителя системы заменой соответственно первого, второго и третьего столбцов свободных членов: ,

,

.

По формулам Крамера находим единственное решение системы линейных уравнений: , , .