Свойства определителей матриц

Сформулируем основные свойства определителей, присущие определителям всех порядков. Некоторые из этих свойств поясним на определителях 3-го порядка.

1. Если какая-либо строка (столбец) матрицы состоит из одних нулей, то ее определитель равен 0.

2. Если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на число , то ее определитель умножится на это число .

Доказательство. Пусть определитель исходной матрицы равен . Для определенности первую строку матрицы умножим на , получим новый определитель , который разложим по элементам первой строки:

За знак определителя можно выносить общий множитель любой строки или столбца, в отличие от матрицы, за знак которой можно выносить общий множитель лишь всех элементов.

3. При перестановке двух строк (столбцов) матрицы ее определитель меняет знак на противоположный.

4. Если матрица содержит две одинаковые строки (столбца), то ее определитель равен нулю.

Доказательство. Действительно, переставим эти строки (столбцы). С одной стороны, определитель не изменится, но с другой стороны, по свойству 3, поменяет знак, т.е. , откуда .

5. Если элементы двух строк (столбцов) матрицы пропорциональны, то ее определитель равен нулю.

Доказательство. Пусть для определенности пропорциональны первая и вторая строки. Тогда, вынося коэффициент пропорциональности , получаем по свойству 2: , где имеет две одинаковые строки и по свойству 4 равен 0.

6. Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами, и наоборот.

, .

Для доказательства свойства достаточно вычислить значения определителей, стоящих в равенствах слева и справа.

7. Если каждый элемент столбца ( строки) определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, один из которых в столбце ( строке) имеет первые из упомянутых слагаемых, а другой – вторые; элементы, стоящие на остальных местах, у всех трех определителей одни и те же:

.

8. Определитель матрицы не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить элементы другой строки (столбца), предварительно умноженные на одно и то же число.

9. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей: , где , и – матрицы порядка.