Понятие определителя матриц

Необходимость введения понятия определителя – числа, характеризующего квадратную матрицу , – тесно связано с решением систем линейных уравнений.

Определение. Определитель (детерминант) – это число, соответствующее данной квадратной матрице и вычисляемое по определенному правилу.

Для обозначения определителей используются следующие символы: , , . Символ обозначает матрицу, для которой вычисляется определитель.

Определение. Определитель матрицы первого порядка или просто определитель первого порядка равен самому числу : .

Например, пусть , тогда .

Определение. Определителем матрицы второго порядка , или определителем второго порядка называется число, которое вычисляется по формуле: .

Произведения и называются членами определителя второго порядка. Вычисление определителя второго порядка иллюстрируется схемой:

.

Пример 2.1. Найти определитель матрицы .

Решение. .

Определение. Определителем матрицы третьего порядка или определителем третьего порядка называется число, которое вычисляется по формуле: .

Это число представляет алгебраическую сумму, состоящую из 6 слагаемых, или 6 членов определителя. В каждое слагаемое входит ровно по одному элементу из каждой строки и каждого столбца матрицы. Вычисление определителя третьего порядка иллюстрируется схемой:

.

Пример 2.2. Вычислить определитель третьего порядка .

Решение.

.

Вычисление определителя матрицы порядка связано с понятиями минора и алгебраического дополнения. Пусть дана квадратная матрица порядка.

Определение. Минором элемента матрицы порядка называется определитель матрицы порядка, полученной из матрицы вычеркиванием строки и столбца.

Например, минор элемента матрицы третьего порядка: .

Определение. Алгебраическим дополнением элемента матрицы порядка называется его минор, взятый со знаком : , т.е. алгебраическое дополнение совпадает с минором, когда сумма номеров строки и столбца – четное число, и отличается от минора знаком, когда – нечетное число.

Пример 2.3. Найти минор и алгебраическое дополнение элемента матрицы третьего порядка .

Решение. Из полученной матрицы вычеркнем вторую строку и третий столбец, получим . Полученный минор возьмем со знаком , тогда .

Большое значение для вычисления определителей имеет следующая теорема о разложении определителей по элементам строки или столбца.

Теорема Лапласа. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

– разложение по элементам строки, ;

– разложение по элементам столбца, .

Убедимся в справедливости теоремы Лапласа на примере определителя матрицы третьего порядка. Разложим его по элементам первой строки:

.

Полученная сумма совпадает с определением детерминанта третьего порядка. Аналогичный результат достигается разложением определителя матрицы по любой строке или столбцу.

Пример 2.4. Вычислить определитель треугольной матрицы .

Решение. Раскладывая определитель по второму столбцу, получаем:

.

Замечание 1. Для разложения определителя обычно выбирают тот ряд, где есть нулевые элементы, так как соответствующие им слагаемые в разложении будут равны нулю.

Замечание 2. С помощью разложения по строке или столбцу любой определитель порядка можно свести к сумме определителей, порядок которых на 1 меньше и т.д., пока не будут получены определители 3-го или 2-го порядков, вычисление которых уже не представляет трудности.