Операции над матрицами

Над матрицами, как и над числами, можно производить ряд операций, причем некоторые из них аналогичны операциям над числами, а некоторые – специфические. Сложение, вычитание и умножение матрицы на число являются линейными операциями над матрицами.

1. Умножение матрицы на число.

Произведением матрицы на число (или числа на матрицу А) называется матрица , элементы которой , ( , ).

Пример 1.2. Умножить матрицу на число 4.

Решение. .

2. Сложение матриц.

Суммой двух матриц и одинакового размера называется матрица , элементы которой , ( , ).

Пример 1.3. Пусть , . Найти .

Решение. .

3. Вычитание матриц.

Разность двух матриц одинакового размера определяется через операции сложения матриц и умножения матрицы на число: .

Операции сложения матриц и умножения матрицы на число обладают следующими свойствами:

1. Коммутативный закон сложения: .

2. Сочетательный закон сложения: .

3. Распределительный закон: , где – постоянное число.

4. Сочетательный закон умножения: , где и – постоянные числа.

4. Произведение матриц.

Произведение матриц имеет место только для матриц определенных размерностей. Матрицу можно умножить на матрицу , если число столбцов матрицы равно числу строк матрицы , т.е. если имеет размерность , то матрица должна иметь размерность . Произведением будет матрица размерности .

Произведением матриц называется матрица , каждый элемент которой равен сумме произведений элементов строки матрицы на соответствующие элементы столбца матрицы .

Получение элемента схематично изображается так:

Пример 1.4. Вычислить произведение матриц , где , .

Решение. Определим размер матрицы-произведения: . Вычислим элементы матрицы-произведения , умножая элементы строк матрицы на соответствующие элементы столбцов матрицы следующим образом: .

Пример 1.5. Вычислить произведение матриц , где , .

Решение. Определим размер матрицы-произведения: . Вычислим элементы матрицы-произведения :

.

Умножение матриц обладает следующими свойствами.

1. Сочетательный закон умножения: .

2. Распределительный закон: .

3. Сочетательный закон относительно скалярного сомножителя: .