Взаимно простые числа, их свойства

Два числа а ив называются взаимно простыми, если их НОД равен единице. П: числа 5 и 8 взаимно простые, т.к.D(5, 8)=1. Числа 5, 4 и 16 также взаимно простые числа, т.к.D(5,4,16)=1. Cвойства: 1.Если нат.числа а и в не делятся на простое число р, то числа а и р взаимно простые. 2.Если числа а взаимно простые с каждым из чисел в и с, то число а взаимно простое и с произведение этих чисел. 3.Если произведение чисел а и в делится на число с, а числа в и с взаимно простые, то число а делится на с. 4.Если произведение двух нат.чисел а и в делится на простое число р, тохотя бы одно из этих чисел делится на р. 5.Частное от деления данных чисел а и в на их НОД яв-ся взаимно простыми числами. П: сократим дробь . При сокращении дробей числитель и знаменатель дроби делят на их НОД. В результате должна получиться несократимая дробь,т.е.дробь, у которой числитель и знаменатель будут взаимно простые числа. Найдём D(36,96)= 12. Будем иметь: Числа 3 и 8 взаимно простые, значит, дробь полностью сократили.

Общие кратные. Свойства наименьшего общего кратного.

Число с называется общим кратным чисел а и в, если число с делится на а и на в. П: для чисел 12 и 15 общим кратным яв-ся числа 60, 120, 180, 240, 300, 360. Наибольшего общего кратного для любых чисел не существует. Наименьшее общее кратное на мн.целых неотриц.чисел для любых а и в- это число 0ю Поэтому это понятие рассматривают на мн.нат.чисел. НОК чисел а и в называется наименьшее число, которое делится на каждое из данных чисел. Обозначается: НОК(а,в) или К(а,в). П: для чисел 12 и 15 НОК яв-ся число 60, т.е.К(12,15)=60. Свойства НОК: 1.НОК чисел а и в не меньше наибольшего из этих чисел. Док-во: пусть а в и К(а,в)=м. Тогда м а и м в, значит, м а и м в. Неравенство м а доказывает утверждение теоремы. 2.Если а делится на в, то К(а,в)=а. Док-во: т.к.а в и а а, то К(а,в)=а. 3.Каждое общее кратное чисел а и в делится на их наименьшее общее кратное. Док-во: пусть М- произвольное общее кратное чисел а и в, и м- НОК этих чисел. Т.к.М м, то применим к ним теорему о делении с остатком. Получим: М=мq+r, где 0 r м. Поскольку М а и м а, то по свойству транзитивности отношения делимости r а. Аналогично док-ся, что r в. Значит,r- общее кратное чисел а и в. Если r- нат.число, то r м противоречит тому, что м-НОК. Поэтому r=0 и М=мq, следовательно, М м. 4.Каждое число, которое делится на К(а,в) яв-ся общим кратным чисел а и в. 5.Если с произвольное число, то К(ас,вс)= с К(а,в). П: найдём рациональным приёмом К(620,360). Т.к. 620=20 31, 360=20∙18, то К(620, 360)= 20∙К(31,18). Т.к.числа 31 и 18 взаимно простые, то К(31,18)= 31∙18=558. Тогда К(620, 360)= 20∙558=11160.

Нахождение НОД и НОК по каноническому виду.

Представление числа в виде произведения простых чисел называется разложением этого числа на простые множители. Раскладывая числа на простые множители, используют признаки деления на 2,3,5 и др. П: 720=2 ∙2∙2∙2∙3∙3∙5

Произведение одинаковых множителей принято заменять степенью: 720=2⁴∙3² ∙ 5. Такое представление числа 720 называют каноническим видом этого числа. Алгоритм нахождения НОД: 1.Записать каждое из данных чисел в каноническом виде. 2.Выписать все общие простые множители канонических разложений с наименьшим показателем степени. 3.Найти произведение полученных степеней простых чисел. П: найдём НОД чисел 525 и 630. Т.к. 525=3∙5²∙7, 630=2∙3²∙5∙7, то D(525,630)= 3∙5∙7=105. Алгоритм нахождения НОК: 1.Записать каждое из данных чисел в каноническом виде. 2.Выписать все простые множители, которые входят хотя бы в одно из канонических разложений, с наибольшим показателем степени. 3.Найти произведение полученных степеней простых чисел. П: найдём НОК чисел 525 и 630. Т.к. 525=3∙5²∙7, 630=2∙3²∙5∙7, тогда К(525,630)= 2∙3²∙5²∙7=3150.

Арифметические операции над десятичными дробями. Понятие процента. Задачи на проценты.

Сложение (вычитание)десятичных дробей выполняется по алгоритму: 1)записывают слагаемые (уменьшаемое и вычитаемое) так, чтобы запятые были под запятыми; 2)не обращая внимания на запятые, выполняют действие по правилу сложения (вычитания) нат.чисел; 3)в полученной сумме (разности) запятую ставят под запятой. Алгоритм умножения десятичных дробей следует из алгоритма умножения обыкновенных дробей: m p mp

10ⁿ 10^{s =}10^n+s.

Чтобы записать число mp

10^n+s в виде десятичной дроби, надо в десятичной записи нат.числа мр отделить запятой п+s последних цифр. Алгоритм: 1)рассматривают множители как нат.чис:ла; 2)находят произведение полученных двух нат.чисел; 3)в произведении отделяют запятой столько последних цифр, сколько их в обоих множителях вместе. Деление: 1)делимое и делитель увеличивают во столько раз, чтобы делитель стал целым числом (перенося запятую вправо); 2)выполняют деление так, как деление нат.чисел; 3если целую часть делимого разделили, в частном ставят запятую и продолжают деление. П: 30,21:0,003= 30210:3=10070. Процентом называют одну сотую часть и обозначают 1%. 1%= = 0,01; 2%=0,02; 25%= 0,25%; р%= .

Простые задачи на проценты: 1.Найти р% от целого числа в. Решение имеет вид: в:100 р= в . П: в книге 140 страниц, из них прочитано 30 %. Сколько страниц прочитано? 140 0,3=42 стр. 2.Найти целое число, если р% его составляют в.Решение: в:р 100=в: . П: найти объём бассейна, если 75% его составляют 282 м². 282:0,75=376 м². 3.Найти процентное отношение чисел а и в. Решение: ∙100%. П: В 8 кг раствора соли содержится 6,8 кг воды. Каков процент содержания воды в растворе? 6,8:8∙100=85%

Преобразование обыкновенных дробей в десятичные.

Перевод обыкновенной дроби в десятичную дробь осуществляется делением числителя дроби на её знаменатель. Если процесс деления конечный, то в результате деления числителя на знаменатель получается конечная десятичная дробь. В противном случае получается бесконечная десятичная дробь. П: 1) =3:20= 0,15- конечная десятичная дробь; 2) = 13:75= 0,173333…-бесконечная десятичная дробь. Теорема: для того чтобы несократимая обыкновенная дробь была равна конечной десятичной дроби, необходимо и достаточно, чтобы в каноническое разложение знаменателя входили лишь множители 2 или 5. Док-во: необходимость- пусть = и дробь - несократимая. Тогда по признаку равенства дробей имеем: м 10^у= nk. Из этого равенства следует, что м 10^у делится на п. Т.к.дробь несократимая, т.е.м и п- взаимно простые числа, то 10^у делится на п, а это значит, п=2^а 5^в, где - некоторые целые числа. Достаточность- пусть п=2^а 5^в, где - некоторые целые числа, причём, - наибольшее из чисел . Тогда

m m 2^y-f 5^y-d m 2^y-а 5 ^y-в м 2^y-a 5^y-в

п =2^а 5^в 2^y-a 5^y-в = 2^у 5^у = 10^у

Из этой теоремы следует другой способ обращения обыкновенной дроби в десятичную дробь- это умножение числителя и знаменателя на такое число, чтобы знаменатель стал степенью числа 10

Бесконечные десятичные дроби.

Бесконечная десятичная дробь, у которой одна или несколько цифр после запятой повторяются, называется периодической десятичной дробью, а повторяющаяся группа цифр называется периодом. П: = 0,1363636…= 0,1(36); =0,6296296…= 0,(629). Бесконечную периодическую десятичную дробь, у которой период начинается сразу после запятой, называют чисто периодической дробью. Если между запятой и периодом находится группа цифр, то такую дробь называют смешанной периодической. П: 0,(629); 0,(27)- чисто периодические десятичные дроби; 0,1(36); 0,5(27)- смешанные периодические десятичные дроби. Утверждения: 1)если знаменатель несократимой обыкновенной дроби взаимно прост с числом 10, то такая дробь обращается в чисто периодическую. 2если знаменатель несократимой обыкновенной дроби имеет вид п=2^а 5^в р, где р и 10- взаимно простые числа, - целые неотриц.числа, то такая дробь обращается в смешанную периодическую десятичную дробь.

Отрицательные действительные числа. Нуль.Модуль действительного числа. Противоположные числа.

Во мн.R₊ полож.действит.чисел не всегда выполнима операция вычитания (н.,разность 2-5 не яв-ся полож.числом). Всё это привело к необходимости введения новых чисел, которые были названы отрицательными. Поставим в соответствие каждому положительному действительному числу х число –х. Назовём его отрицательным действительным числом. Множество всех отрицательных действительных чисел обозначим R_- . Объединение мн.R₊,R_- и {0} называют множеством действительных чисел и обозначают R. Согласно определению имеем: R=R₊ R_- {0}, где R₊ R_-= , R₊ {0}= , R_- {0}= . Если первоначальное значение величины было х, потом стало у, где х,у R₊, то изменение у-х величины будет выражаться положительным действительным числом, если х у, и будет выражаться отрицательным числом, если х у, т.е.её изменение будет: у-х=-(х-у). Любое действ.число можно отметить на координатной прямой точкой. Полож.числам соответствует полупрямая справа от числа 0, отрицательным- полупрямая слева от 0. Мн.R действительных чисел и множество точек координатной прямой находятся во взаимно однозначном соответствии друг с другом, т.е.каждому действительному числу х соответствует единственная точка координатной прямой, а каждой точке координатной прямой соответствует одно и только одно действительное число. Числа х и –х, где х R₊, называются противоположными, если на координатной прямой им соответствуют точки, симметричные относительно точки О. Число, противоположное числу –х, есть число х, т.е. –(-х)=х. Расстояние от начала отсчёта до точки с координатной х называется модулем числа х и обозначается . Алгебраическое определение модуля действительного числа:

|х|

Например, |х| =5 означает, что х₁=5 или х₂=-5, т.к.расстояние от начала отсчёта до точек х₁ и х₂ равно 5. Геометрическое определение модуля действительного числа можно использовать при решении неравенств, содержащих переменную под знаком абсолютной величины. Например, решением неравенства |х| 5 будет отрезок (-5;5), т.к.расстояние от начала отсчёта точки О до точек этого отрезка меньше 5. П: решить неравенство: |х-3| 5. Исходя из геометрического определения модуля |х-3| есть расстояние от числа 3 до точек с координатами х.Это расстояние должно быть меньше 5. Устанавливаем границы искомого отрезка, ими яв-ся числа -2 и 8. Все числа отрезка (-2;8) удовлетворяют исходному неравенству, т.к.расстояние от числа 3 до любого из чисел найденного отрезка меньше 5.