Вычитание целых неотрицательных чисел в количественной теории. Правила вычитания

Разностью целых неотрицательных чисел а ив называется число элементов в дополнении мн.В до мн.А при условии, что а=п(А), в=п(В), ВсА. Символически это определение можно записать так: а-в= п(А\В), где а=п(А), в=п(В), ВсА. П: 7-4=3. Пусть А={x, y, z, t, p, r,s}, B={x, y, z,t} и п(А)=7, п(В)=4. Разность мн.А\В={p, r, s}, n(A\B)=3. Значит, 7-4=3. Разностью целых неотриц.чисел а и в называется такое целое неотриц.число с, сумма которого и числа в равна а, т.е.а-в=с<=>а=в+с. Число а называется уменьшаемым, в- вычитаемым, с=разностью. Выражение а-в тоже называют разностью. Теорема 1: разность целых неотриц.чисел а и в существует тогда и только тогда, когда в≤а. Док-во: докажем неободимость и достаточность этого условия. Достаточность- пусть в≤а. Если в=а, то разность а-в существует и равна 0. Если в<а, то по определению отношения «меньше» существует натур.число с такое, что а=в+с. Это значит, что разность а-в существует. Необходимость- если разность а-в существует, то по определению разности найдётся целое неотриц.число с, что а=в+с. Если с=0, то а=в. Если с≠0, то с- натуральное число, и из того, что а=в+с следует, что в<а. Таким образом, в≤а. Теорема 2: если разность целых неотриц.чисел существует, то она единственная. Док-во(методом от противного): предположим , что существуют два различных значения разности а-в, т.е.а-в=с1 и а-в=с2, причём с1≠с2. Тогда по определению разности получим: а=в+с1 и а=в+с2. Отсюда в+с1=в+с2. По св-ву сократимости сложения будем иметь: с1=с2. Это противоречит предположению о том, что с1≠с2. Противоречие доказывает истинность теоремы. Правила вычитания: правило вычитания числа из суммы: чтобы отнять число из суммы, достаточно отнять это число из одного из слагаемых и к полученной разности прибавить другое слагаемое,т.е. (а+в)-с= (а-с)+в, если с≤а; (а+в)-с= а+(в-с), если с≤в. Док-во: пусть с≤а, тогда разность а-с существует. Обозначим а-с=р, отсюда, а=р+с. Тогда (а+в)-с= (р+с+в)-с= р+с+в-с= р+в= (а-с)+в. П: (27+8)-7= (27-7)+8= 20+8=28. Правило вычитания из числа суммы: чтобы отнять от числа сумму чисел, достаточно отнять от этого числа последовательно каждое слагаемое одно за другим,т.е.а-(в+с)= (а-в)-с, если в+с≤а. Док-во: число а- уменьшаемое, (в+с)-вычитаемое, число ((а-в)-с) является разностью. Найдём сумму разности и вычитаемого: ((а-в)-с)+(в+с)= ((а-в)-с)+(с+в)= (((а-в)-с)+с)+в= (а-в)+в=а. Получили уменьшаемое, значит, равенство верное. П: 14-6=14-(4+2)=14-4-2=10-2=8.