Сложение целых неотрицательных чисел в количественной теории. Законы сложения

Суммой целых неотрицательных чисел а и в называют число элементов в объединении непересекающихся мн.А и В, таких, что п(А)=а, п(В)=в: а+в=п(А∪В), где п(А)=а, п(В)=в и А∩В=∅. П: с помощью определения суммы объясним, почему 5+2=7. Пусть 5- число элементов мн.А, 2- число элементов мн.В, где А={а, в,с, д, е}, В={ж, з}, причём А∩В=∅. Тогда А∪В= {а, в, с, д, е, ж, з}. Так как п(А∪В)=7, то 5+2=7. Во мн.целых неотриц.чисел верно следующее утверждение: сумма целых неотрицательных чисел всегда существует и единственна. Существование и единственность суммы вытекают из существования и единственности объединения двух мн. Во мн.N0 целых неотриц.чисел для операции сложения выполняются св-ва коммутативности и ассоциативности. Коммутативность: (∀а,в∈N0)а+в= в+а. Док-во: пусть а=п(А) и в=(В), А∩В=∅. По определению суммы а+в=п(А∪В). Но т.к.для операции объединения мн.выполняется коммутативный закон А∪В= В∪А, то п(А∪В)= п(В∪А). Поэтому, а+в=в+а для любых нат.чисел а и в. Ассоциативность: (∀а,в,с∈N0) (а+в)+с=а+ (в+с). Док-во: пусть а=п(А), в= п(В), с=п(С) и А∩В=∅, В∩С=∅. На основании определения суммы целых неотриц.чисел имеем: (а+в)+с= п(А∪В)+ п(С)= п((А∪В)∪С). Так как объединение мн.обладает св-ом ассоциативности, т.е (А∪В)∪С)= А∪(В∪С), то верно следующее равенство: п((А∪В)∪С)= п(А∪(В∪С))= п(А)+ п(В∪С)= а+(в+с). Значит, (а+в)+с= а+(в+с). П: 8+5=8+(2+3)= (8+2)+3=10+3=13. Законы: переместительный- для любых целых неотриц.чисел а ив выполняется равенство а+в=в+а; сочетательный- для любых целых неотриц.чисел а, в, с выполняется равенство (а+в)+с= а+(в+с)