Основная теорема арифметики.

Теорема: каждое нат.число можно записать в виде произведения простых множителей, причём единственным способом. Док-во: существования- пусть а- составное число. Применим к числу а теорему, которая утверждает, что у составного числа а есть простой делитель р₁, т.е.а=р₁q. Эту же теорему применим к числу q, т.е.q=р₂r, где р₂ –простое число. Получим а=р₁р₂ r. Продолжая этот процесс, получим а=р₁р₂р₃...р_k, где р₁- простые числа. Единственность- докажем, что это разложение единственное. Предположим, что существуют нат.числа, которые имеют различные разложения на простые множители. Среди таких чисел существует наименьшее. Пусть это будет число а, т.е.а=р₁р₂р_3…р_k, и а=q₁q₂q₃…q_n, где р_i и q_j- простые числа. Поскольку а=р₁р₂р₃…р_k и а=q₁q₂q₃…q_n, то по св-ву равенств имеем: р₁р₂р₃…р_к= q₁q₂q₃…q_n. Правая часть равенства этого делится на простое . число q_1. Значит, и левая часть делится на q₁, т.е.найдётся хотя бы один из множителей р₁,р₂,р_3,…,р_к, который делится на q₁. Пусть р₁ делится на q₁. Т.к.числа р₁ и q₁- простые, то р₁= q₁. Разделим обе части равенства на q₁. Получим равенство: с=р₂р₃…р_к= q₂ q₃… q_п, где с=а: q_1. Т.к. q₁ 1, то с а. Но по предположению а- наименьшее число, которое имеет различные разложения на простые множители. Следовательно, с может иметь только одно разложение на простые множители. А это значит, что разложения с=р₂р₃…р_к и с= q₂ q₃… q_п могут отличаться друг от друга лишь порядком множителей. Это противоречит предположению, что разложения различные. Полученное противоречие доказывает, что нат.чисел, имеющих различные разложения на простые множители, не существует. Основная теорема арифметики позволяет записывать нат.число в виде произведения степеней простых чисел. Разложение числа а на простые множители имеет вид: а=р₁^а1 р₂^а2 р₃^а3…р_п^ап, где р_i- простые числа, a_i- нат.числа и называется каноническим разложением числа а. П: представим число 620 в каноническом виде. 620=2 2 5 31

Следовательно, 620=2² 5 31.

Алгоритм Евклида.

Пусть даны два числа а и в, причём а в. Требуется найти D(а,в). Разделим а на в с остатком, получим а=вq₁+r_1, 0 r₁ в. Если r₁ 0, то разделим в на r₁: в=r₁q₂+r₂, 0 r₂ r₁. Если r₂ 0, то разделим r₁ на r₂: r₁=r₂q₃+r₃, 0 r₃ r₂ и т.д. Этот процесс не бесконечный, т.к.последовательность остатков r₁, r₂, r_3, …- убывающая, а поскольку остатки яв-ся нат.числами, то через определённое кол-во шагов придём к остатку равному 0. Пусть r_к 0, а r_к+1=0. Тогда r_к-1=r_кq_к+1+0. На основании следствия теоремы об общих делителях получим цепочку равенств: D(а,в)= D(в,r₁)= D(r₁,r₂)= D(r₂,r₃)= …= D(r_к-2,r_к-1)= D(r_к-1,r_к)= D(r_к,0)=0. Таким образом, в алгоритме Евклида НОД чисел а и в яв-ся последний остаток, не равный 0.П: D(525,231); разделив с остатком 525 на 231, получаем остаток 63. Значит, D(525, 231)= D(231,63). Разделив с остатком 231 на 63: 231=63∙3+42, т.е. D(231,63)= D(63,42). Разделив с остатком 63 на 42: 63=42∙1+21, значит, D(63,42)= D(42,21). При делении с остатком 42 на 21 в остатке получаем 0, т.е. D(42,21)=D(21,0). НОД чисел 21 и 0 равен 21. Следовательно, число 21 яв-ся и НОД чисел 525 и 231, т.к.мы установили, что D(525,231)= D(231,63)= D(63,42)= D(42,21)= D(21,0)=21.

525|231

462 2

231| 63

-189 3

63| 42

-42 1

42|21

-42 2

525=231∙2+63; 231=63∙3+42; 63=42∙1+21; 42=21∙2+0

D(525, 231)=21

Понятие десятичной дроби. Свойства десятичных дробей.

Дробь вида m

10ⁿв которой числитель- нат.число, а знаменатель- степень числа 10, называется десятичной. Свойства десятичных дробей: 1.Из двух рядов записанных цифр в записи десятичной дроби левая цифра имеет разрядную единицу в 10 раз большую, чем правая. 2.Умножение десятичной дроби на 10ⁱ осуществляется переносом запятой на i цифр вправо, делением десятичной дроби на 10ⁱ- переносом запятой на i цифр влево. П: 23,751 10000=237510; 23,7251:1000=0,0237251. 3.Приписывание нулей к десятичной дроби и отбрасывание нулей, которые стоят в конце десятичной дроби, не меняют её значения. П: 23,125= 23,1250000; 1,635000=1,635. Цифры, стоящие после запятой, называют десятичными знаками. 4.Для приведения двух десятичных дробей к общему знаменателю достаточно путём приписывания нулей уравнять количество десятичных знаков в данных дробях. 5.Из двух десятичных дробей больше та, у которой целая часть. Из двух десятичных дробей с равными целыми частями больше та дробь, у которой больше первый из неравных десятичных знаков. П: 30,21 25,95, т.к. 30 25; 30,201 30,198, т.к. 2 1.

Преобразование бесконечных периодических дробей в обыкновенные.

1.Пусть дана чисто периодическая десятичная дробь а= 0,(q₁q₂q₃…q_k). Обозначим период q₁q₂q₃…q_k= в. Умножим число а на 10^к, получим: а 10^к= в+0, (q₁q₂q₃…q_k), или а 10^к= в+а. Отсюда получим: а 10^к-а= в, а= в/10^к-1, где (10^к-1)- нат.число, записанное с помощью k девяток. Правило 1: чисто периодическая десятичная дробь равна обыкновенной дроби, в числителе которой записан период, а знаменатель состоит из такого кол-ва девяток, сколько цифр в периоде. П: записать число а=0,23232323… обыкновенной дробью. Выделим в числе а период, запишем его в краткой форме и выполним преобразования: а=0,(23); 100а=23,(23); 100а=23+0,(23); 100а=23+а; 99а=23; а= . Эту запись можно получить сразу по правилу: 0,(23)= . 2.Пусть теперь дана смешанная периодическая десятичная дробь а=0, q₁q₂q₃…q_п (q_n+1q_n+2 …q_n+k) с периодом, состоящим из k цифр, и до периода находится п цифр. Обозначим через в нат.число, записанное из цифр до начала периода, а число, записанное цифрами периода, обозначим буквой с: в=q₁q₂q₃…q_n, c=q_n+1q_n+2…q_n+k. Умножим число а на 10^п, получим: 10^п а= q₁q₂q₃…q_n, (q_n+1q_n+2…q_n+k)= q₁q₂q₃…q_n+

0,(q_n+1q_n+2…q_n+k)= в+0,(q_n+1q_n+2…q_n+k) По правилу число 0,(q_n+1q_n+2…q_n+k)= q_n+1q_n+2…q_n+k/ 10^k-1= c/10^k-1. Значит, 10^п а= в+с/10^к-1. Тогда а=в/10^п+с/10^к-1= в (10^к-1)+с/10^п(10^к-1)= в 10^к-в+с/10^п (10^к-1)= (в 10^к+с)-в/10^п (10^к-1). Причём в 10^к+с- это число, образованное всеми цифрами, стоящими между запятой и началом второго периода. Правило 2: смешанная периодическая десятичная дробь равна обыкновенной дроби, в числителе которой разность между числом, записанным из цифр до начала второго периода, и числом, записанным из цифр до начала первого периода, а знаменатель образован таким числом девяток, сколько цифр в периоде, и таким числом нулей, сколько цифр до начала первого порядка. П: переведём число а=0,5(27) в обыкновенную дробь. 10а=5,(27)= 5+0,(27); 10а= 5+ . Тогда а= = = = = . Пользуясь правилом: 0,5(27)= .

Расширение множества рациональных чисел. Теорема о несоизмеримости диагонали квадрата с его стороной.

Необходимость расширения множества рациональных чисел была вызвана различными причинами. С одной стороны, в процессе измерения величин, в частности, измерения длины отрезка, обнаружился тот факт, что существуют несоизмеримые отрезки, т.е.рац.чисел недостаточно, чтобы выразить результат измерения величины. Теорема 1: диагональ квадрата несоизмерима с его стороной. Док-во: пусть диагональ АС квадрата АВСД соизмерима с его стороной АВ=е и её длина выражается несократимой обыкновенной дробью е. По теореме Пифагора АС²=2 АВ² или ²е²=2 е². По св-ву сократимости равенства получим: м²/п²=2 или м²=2п² (1). Из равенства (1) следует, что число м² делится на 2, а значит, и число м делится на 2, т.е.м=2k. Подставим в равенство (1) значение м, получим верное равенство: 4k²=2п² или п²=2k², из которого следует, что п² делится на 2, а, значит, число п также делится на 2. Получили, что числа м и п делятся на 2. Значит, дробь сократима на 2, что противоречит предположению о том, что она несократимая. Противоречие показывает, что теорема верна, т.е.длину диагонали квадрата нельзя выразить рациональным числом, если за единицу измерения взять его сторону. Значит, диагональ квадрата несоизмерима с его стороной. К необходимости расширения мн.Q приводят не только задачи, связанные с измерением величин. Появление новых (иррациональных) чисел вызвано потребностями математики. Н: уравнения вида х²=2, 2^х=3 не имеют решений во мн.Q. Теорема 2: не существует рационального числа, квадрат которого равен 2. Док-во: предположим, что существует рациональное число а такое, что а²=2. Запишем его в виде несократимой дроби . Тогда имеет место равенство ²=2 или р²/q²=2, откуда р²=2q². Из этого равенства видим, что р² делится на 2, значит, р делится на 2. Тогда р=2м, где м- целое число. Подставим в равенство р²=2q² вместо р его значение, получим 4м²=2q², т.е.q²=2м². Отсюда видим, что q² делится на 2, а потому и q делится на 2, т.е.q=2п. Но тогда дробь имеет вид и её можно сократить на 2, что противоречит предположению. Итак, рац.числа а такого, что а²=2, не существует. Таким образом, рац.чисел оказывается недостаточно как для полного решения задачи об измерении длины отрезка, так и для решения других задач математики.

Масса тела и её измерение.

Масса тела- физическая величина, которая позволяет сравнивать тела при измерении веса. Масса тела- это положительная величина, которая обладает следующими св-ми: 1)масса равна у тел, которые уравновешиваются на весах; 2)масса тел складывается, если тела объединяются, т.е.масса нескольких тел, взятых вместе, равна сумме их масс.Измерение массы происходит при помощи рычажных весов . При измерении возможны следующие случаи . 1. Если чаши весов находится в равновесии, то тела А и В имеют одинаковую массу. 2. Если чаша весов с телом А находится выше чаши весов с телом В, то масса тела А меньше массы тела В. 3.Если чаша весов с телом А находится ниже чаши весов с тела В, то масса тела А больше массы тела В. При измерении массы выбирают тело, масса которого принимается за единицу . Эталон массы: за единицу массы 1 килограмм принимается масса цилиндра, изготовленного из сплава платины и иридия, хранящегося в Международном бюро мер и весов в г Серве во Франции. 1 кг приблизительно равен 1 дистиллированной воды при температуре 4 . Масса тела обладает св-ми: 1. При выбранной единице масса любого тела выражается положительным действительным числом, и для каждого положительного действительного числа существует тело, масса которого выражается зтим числом. 2.Если два тела равны, то числовые значения их масс также равны, и наоборот: если числовые значения масс двух тел равны, то равны и сами тела. 3.Если данное тело состоит из конечного числа тел, то числовое значение его массы равно сумме числовых значений масс составляющих тел, и наоборот. 4. При замене единицы масс значение массы тела увеличивается (уменьшается) во столько раз, во сколько раз новая единица измерения массы меньше (больше) старой. 5.Массу тела можно умножать на положительное действительное число, в результате получится масса некоторого тела. Но умножать массу на массу нельзя. П: 135кг=135 1кг=135 1000г= 135000г; 27кг=27 1кг=27 0,01ц= (27 0,01)ц=0,27ц. При переводе единиц используют следующие зависимости между единицами массы: 1т=1000кг; 1т=10ц; 1ц=100кг; 1кг=1000г; 1г=1000мг.

Время и его измерение.

Понятие времени рассматривают в двух аспектах: время как продолжительность какого-либо процесса или явления (промежуток времени- ню, занятия длятся 2 часа; и время хронологическое- время, которое протекает до и после некоторого фиксированного начала отсчёта (это дата, н., 1 ноября 2013 года). Связь между этими двумя понятиями времени состоит в следующем: каждый промежуток времени есть разность двух дат. Время-продолжительность обладает св-ми: 1)промежутки времени можно сравнивать и устанавливать, какой из них больше или меньше; 2)промежутки времени можно складывать, отнимать; 3)промежутки времени можно делить, умножать на полож.действ.число; 4)при замене единицы времени числовое значение времени увеличивается (уменьшается) во столько раз, во сколько раз новая единица измерения времени меньше (больше)старой. Измерение времени: за единицу времени принимают продолжительность процесса, который регулярно повторяется, например, смена дня и ночи или смена времён года. Эти явления связаны с вращением Земли вокруг собственной оси (1 сутки) и вращением Земли вокруг Солнца (1 год). В международной системе единиц за единицу времени принимается секунда: 1 секунда= часть года; 1 год 365 суток. П: 15ч=15 1ч= 15 60мин= (15 60)мин= 900 мин; 780сек= 780 1сек= 780 мин= мин=13мин.