Общие делители. Свойства наибольшего общего делителя.

Общим делителем натуральных чисел а и b называется число, которое является делителем каждого из данных чисел.П: числа 1,2,3,4,6,12 яв-ся общими делителями чисел 24 и 36. Наибольшим из них яв-ся число 12. Наибольшее число из всех общих делителей чисел а и b на¬зывается наибольшим общим делителем данных чисел. Наибольший общий делитель чисел а и b условимся обо-значать D(a, b) или НОД(а, b). Например, для чисел 12 и 18 общими делителями являются числа: 1, 2, 3, 6. Число 6- наибольший общий делитель чисел 12 и 18. Можно записать: D(12, 18) = 6.Число 1 является общим делителем любых двух натураль¬ных чисел а и Ь. Если у этих чисел нет иных общих делителей, то D(a, b)= 1, а числа a и b называются взаимно простыми.

Св-ва НОД: 1) Наибольший общий делитель чисел а и b не превосхо¬дит наименьшее из данных чисел. Док-во: пусть а< b и D(а, b )=d. Тогда а⋮d и b ⋮d, следовательно, а≥ d, b≥d или d≤а. 2)Если а делится на b, то D(а, b)= b. П: НОД чисел 620 и 20 есть число 20, т.к.и число 620, и само число 20 делятся нацело на 20. 3)Каждый делитель НОД чисел а и b яв-ся одновременно общим делителем этих чисел. Док-во: пусть D(а, b)= d и d1- делитель числа d. Тогда по св-ву транзитивности отношения делимости имеем: а⋮ d и d⋮d1, следовательно, а⋮ d1. Аналогично b⋮d, d ⋮ d1, то b ⋮d1. Значит, d1- общий делитель чисел а и b. Получили, что каждый делитель числа d яв-ся общим делителем чисел а и b. 4.D(са, св)= с∙ D(а, b). П: найдём рациональным приёмом D(620,360). Т.к. 620=20∙31, 360=20∙18, то D(620, 360)= 20 ∙D(31,18). Числа 31 и 18 взаимно простые, тогда D(620, 360)= 20∙1=20.