Позиционная и непозиционная система счисления. Запись чисел в различных позиционных системах

Системой счисления называется язык для записи, наименования и выполнения действий над числами. Позиционная система счисления — система, в которой значение каждого знака зависит от его позиции в записи числа. П: 8665- 5 в 1разряде обозначает 5 единиц, 6 во 2 разряде-число 60, цифра 6 в 3 разряде- 600, 8 в 4 разряде-8000,т.е. 8665=8000+600+60+5. Таким образом, одна и та же цифра может обозначать разные числа в зависимости от занимаемой позиции в записи числа. Позиционные системы хар-ся основаниемсистемы счисления,т.е.числом единиц, образующих одну единицу старшего разряда. Основанием системы может быть любое число р 2. Если р=2- двоичная, используют две цифры:0 и 1. П: 10111₂= 1 2⁴+1∙2²+1∙2+1. Если р=8- восьмеричная, числа от 0 до 7, 54352₈. Первой системой была шестидесятиричной. Непозиционной системой счисления называется система, в которой значение знака (цифры) не зависит от позиции этого знака в записи числа (древнеримская- I(1), V(5), X(10), L(50), C(100), D(500), M(1000). При чтении чисел в этой системе пользуются правилами: если знак меньшего числа записан после знака большего числа, то, чтобы прочитать число, достаточно сложить значения символов- CCLIII- 100+100+50+1+1+1=253. Если же знак меньшего числа записан перед знаком большего числа,то, чтобы прочитать число, достаточно от большего числа вычесть значение меньшего числа- CDLIV- 454=(500-100)+ 50+ (5-1); древнегреческая.) В десятичной системе для записи используют 10 цифр: 0,1,2,3,…, 8,9. Число х можно записать в позиционной форме: х=а_па_п-1…а₂а₁а₀. Любое нат.число х можно представить в виде: х=а_п∙10^п+а_п-1∙10^п-1+ …+а₂ ∙10²+а₁∙10¹+а₀, где коэффициенты а_п, а_п-1, …, а_2, а₁,а₀ принимают значения 0,1,2,3, 4,5,6, 7,8,9 и а_п 0. Представление числа в виде суммы степеней основания системы счисления называют систематической записью числа. П: 2545= 2∙10³+5∙10²+4∙10+5. Записью числа х в системе счисления с основанием р называется представление его в виде: х=а_п∙р^п+а_п-1∙р^п-1+…+а² ∙р²+ а₁ ∙р¹+а₀, где а_п, а_п-1, …, а₂, а₁, а_о. принимают значения 0, 1, 2, …, р-1, причём а_п 0. При чтении чисел в позиционных системах, отличных от десятичной, называют каждую цифру числа слева направо. П: 25422₆=2∙6⁴+5∙6³+ 4∙6²+2∙6+2. Число 25422₆ читают так: два, пять,четыре, два, два в шестеричной системе счисления. Переход от записи числа х в системе с основанием р к десятичной записи числа: нужно записать данное число х в виде суммы степеней основания системы счисления, а затем выполнить все указанные действия (возведение в степень, умножение и сложение) по правилам, принятым в десятичной системе счисления. П: перевести 32101₅ в десятичную систему счисления: 32101₅=3∙5⁴+2 ∙5³+1∙5²+0∙5+1= 3∙625+2∙125+ 25+1=2151. Переход от десятичной записи числа х к записи числа в системе с основанием р: нужно число х разделить с остатком на число р. Остаток от деления даст последнюю цифру р-ичной записи числа х. Полученное частное снова разделить на р. Новый остаток даст предпоследнюю цифру искомого числа. Второе частное разделить на р и т.д., пока не получим частное, равное 0. Последовательные остатки, начиная с последнего, будут разрядными цифрами искомого числа. П: 2151 в пятеричную систему. 2151:5=430 (ост.1); 430:5=86 (ост.0); 86:5=17 (ост.1); 17:5=3 (ост.2); 3:5=0(ост.3). 2151=32101₅.