Множество всех целых чисел. Арифметические операции во множестве всех целых чисел

К множеству целых чисел относятся все положительные или отрицательные числа, не являющиеся дробями, и нуль. Мн.целых неотриц.чисел обладает рядом св-в: упорядоченное и бесконечное. Докажем, что мн.целых неотриц.чисел может быть упорядочено при помощи отношения «меньше». Для этого покажем,что это отношение транзитивно и антисимметрично, причём будем исходить из определения отношения «меньше» через сумму. Теорема 1: если а<в и в<с, то а<с. Док-во: так как а<в и в<с, то по определению отношения «меньше» найдутся такие нат.числа х и у,что в=а+х и с=в+у. Но тогда с=(а+х)+у, и на основании сочетательного закона сложения получаем с=а+(х+у). Поскольку х+у- целое неотриц.число, то согласно определению отношения «меньше» а<с. Теорема 2: если а<в,то неверно,что в<а. Док-во: нетрудно убедиться в том,что ни для одного целого неотриц.числа а не выполняется неравенство а<а. Если бы имели а<а, то нашлось бы такое нат.число с, что а=а+с, но это невозможно в силу единственности суммы. Предположим теперь, что оба неравенства а<в и в<а выполняются. Тогда по св-ву транзитивности отношения «меньше» будем иметь а<а, что невозможно. Так как отношение «меньше» для целых неотриц.чисел транзитивно и антисимметрично,то оно яв-ся отношением порядка,а мн.целых неотриц.чисел- упорядоченным множеством. Из расмотренных св-в отношения «меньше» вытекает,что для любых целых неотриц.чисел а и в может выполняться лишь одно из отношений а<в, а=в, в>а. Располагая элементы этого мн.так,чтобы из любых двух чисел сначала шло меньше, получим ряд целых неотриц.чисел: 0,1,2,3,4,… Этот ряд бесконечен. Возьмём некоторое мн.А, в котором а элементов. Если к нему присоединить ещё один элемент, отличный от всех элементов мн.А, то получим новое мн.В, в котором будет а+1 элементов. Нетрудно доказать, что число а меньше числа а+1. Назовём число а+1 непосредственно следующим за числом а. Тогда для каждого целого неотриц.числа можно указать единственное нат.число, которое за ним непосредственно следует. Обратно: каждое целое неотриц.число непосредственно следует не более чем за одним целым неотриц.числом, нуль непосредственно не следует ни за каким целым неотрицательным числом. Далее, отправляясь от числа 0 и переходя по порядку к непосредственно следующим друг за другом натур.числам, мы получим мн.целых неотриц.чисел. Отношение «непосредственно следовать за» тесно связано со сложением и умножением целых неотриц.чисел. Действительно, сумму а+(в+1) легко найти, если известна сумма а+в: а+(в+1)= (а+в)+1, т.е.она равна числу, непосредственно следующему за суммой а+в. Н: если известно, что 4+2=6, то для нахождения суммы 4+3 достаточно к 6 прибавить 1: 4+3= 4+(2+1)= (4+2)+1= 6+1=7. Аналогично используется понятие «непосредственно следовать за» и для умножения: произведение 7*6 легко найти,если известно, что 7*5= 7*(5+1)= 7*5+7= 35+7. Отметим ещё одно св-во мн.целых неотриц.чисел. Пусть а- некоторое целое неотриц.число и а+1- число, непосредственно следующее за а. Тогда ни для одного целого неотриц.числа а нельзя указать такое натур.число х, что а<х<а+1- св-во дискретности.