Степенные ряды

Определение. Степенным рядом называется сумма

где а_п

Множество значений х, при которых ряд сходится, называется областью сходимости ряда.

Любой степенной ряд сходится при х = 0 (его сумма S равна а₀), т. е. область его сходимости не пуста.

Схема нахождения области сходимости степенного ряда:

1. Найти радиус сходимости ряда

Если R ≠ 0, то ряд сходится на интервале (− R; R).

2. Если R ≠ 0, исследовать ряд на сходимость при х = R и х = −R. В случае сходимости присоединить точку (точки) к интервалу.

Пример 2.22.

Найти область сходимости степенного ряда: 1) ; 2) .

Решение.

Найдем радиус сходимости ряда:

ряд сходится при

Пусть х = 1, тогда ряд принимает вид − сходится.

Пусть х = –1, тогда ряд принимает вид − сходится абсолютно, т. к. ряд сходится.

Ответ: [–1; 1].

ряд сходится при

Пусть х = 1, тогда ряд принимает вид − расходится.

Пусть х = –1, тогда ряд принимает вид − сходится по признаку Лейбница ( члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине).

Ответ: [–1; 1).

2.95. Найти область сходимости степенного ряда:

1) ; 2) 3) 4) 5)

6) 7) 8) 9) 10)

11) 12) 13) 14)

Формула Маклорена (разложение функции в ряд по степеням х)

~

Разложения в ряд Маклорена некоторых функций

2.96. Разложить функцию в ряд по степеням x и указать область сходимости полученного ряда:

1) 2) 3) 4) ;

5) 6) 7) 8)

9) 10) 11) 12)

2.97. Найти решение задачи Коши в виде степенного ряда (первые три члена ряда):

1) 2)

3) 4)

Указание.Найти первые три члена ряда по формуле Маклорена.

Формула Тейлора (разложение функции в ряд

по степеням (х – а))

~

2.98. Разложить в ряд функцию:

1) по степеням (х – 1);

2) по степеням (х + 1);

3) по степеням (x + 2);

4) по степеням (x – 1).

2.99. Вычислить приближенно с заданной точностью:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8)

9) 10)