Числовые ряды

Определение. Числовым рядом называется сумма

где а_п

Пример 2.19 .

Определение. Числовой ряд называется сходящимся, если

где частичная сумма ряда;

S − сумма ряда.

В противном случае ряд называется расходящимся.

2.91. Записать формулу общего члена ряда:

2.92. Найти сумму числового ряда:

1) 2) 3)

Достаточный признак расходимости ряда

Если то ряд расходится.

Пример 2.20.

Ряд расходится по достаточному признаку расходимости, т. к.

Признаки сходимости рядов с положительными членами:

1. Признак сравнения.

Пусть и − ряды с положительными членами. Если

то эти ряды сходятся или расходятся одновременно.

2. Признак Даламбера.Пусть

Если l < 1, то ряд сходится.

Если l > 1, то ряд расходится.

3. Радикальный признак Коши. Пусть

Если l < 1, то ряд сходится.

Если l > 1, то ряд расходится.

4. Интегральный признак Коши.Пусть f(x) − непрерывная, убывающая и положительная на промежутке [1; ∞) функция. Тогда ряд сходится (расходится), если сходится (расходится) интеграл

Пример 2.21.

Исследовать на сходимость ряд:

Решение.

1. необходимо применить один из признаков сходимости положительных рядов – признак сравнения.

При ~ ~ сравним исходный ряд с расходящимся рядом .

исходный ряд расходится.

2. Применим признак Даламбера (найдем ):

ряд сходится.

3. Применим радикальный признак Коши (найдем ):

ряд расходится.

4. Применим интегральный признак Коши. Функция непрерывная, убывающая и положительная на промежутке [1; ∞).

Интеграл сходится, следовательно, и ряд сходится.

Замечание. С помощью интегрального признака Коши можно доказать, что ряд сходится при р > 1 и расходится при р ≤ 1.

2.93. Исследовать ряд на сходимость:

2) 3)

5) 6) 7) 8)

17) 18) 19) 20)

2.94. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд:

1) 2) 3) 4) 5)

6) 7) 8) 9) 10)