Элементы комбинаторики

При решении вероятностных задач часто используются формулы комбинаторики – одного из разделов математики, который изучает различные комби­нации, составленные из заданного конечного множества различимых между собой объектов различной природы (буквы алфавита, цифры, предметы и др.).

Факториал

Определение.Факториалом натурального числа n называется произведение всех натуральных чисел от n до

Факториал натурального числа n обозначается n! и читается «эн факториал»

Пример 3.1.Сократить дробь:

Пример 3.2. Сократить дробь:

Перестановки

Определение. Комбинации из nэлементов множества, отличающиеся порядком, называются перестановками.

Число перестановок из n элементов обозначается P_n.

P _n = n! (3.2)

Пример 3.3. Сколькими способами можно разместить на полке три книги?

В данной задаче необходимо найти число перестановок из четырех элементов. Существует четыре варианта выбора первой книги. Далее остается три варианта выбора второй книги, два варианта третьей книги и один способ выбора четвертой книги.

Таким образом, число способов N разместить четыре книги на полке равно произведению чисел 4, 3, 2 и 1, т. е.

способа.

Пример 3.4.Сколько различных буквенных комбинаций можно составить из букв слова «апельсин»?

Слово «апельсин» состоит из 8 различных букв, поэтому число буквенных комбинаций равно числу перестановок из 8 элементов, то есть применима формула (3.2)

P₈ = 8! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 = 40320 способов.

Интересно отметить, что из всех этих комбинаций только одна – спаниель – является осмысленным словом русского языка.

3.1. Сократить дробь:

а)б) в) г) д) е) ж)

3.2. Сколько различных предложений можно составить из трех слов: «сегодня», «идет», «дождь»?

3.3. Сколько различных пятизначных чисел, в которых цифры не повторяются, можно составить из цифр: 1, 2, 3, 4 и 5?

3.4. Сколькими способами можно разместить четырех пассажиров в четырехместном купе поезда?

3.5. Порядок выступления семи участников конкурса определяется жребием. Сколько различных вариантов жеребьевки при этом возможно?