Изменение атмосферного давления с изменением расстояния от поверхности
Математическое моделирование физических процессов
Лекция №9.
Примем следующие предположения для математической модели: 1) температура воздуха не зависит от высоты над поверхностью; 2) воздух является идеальным газом; 3) гравитационные силы подчиняются закону Ньютона.
Тогда можно показать, что давление на расстоянии от центра Земли удовлетворяет уравнению:
, (1)
причем на поверхности Земли , .
Здесь – радиус Земли, (– гравитационная постоянная, – масса
Земли, – ускорение свободного падения, – константа). Если эти параметры выбраны в одной и той же системе единиц, отношение .
Уравнение (1) удобно привести к безразмерному виду. Для этого введем новые переменные: , , . Так как , то пренебрегая величиной , уравнение (1) сведем к виду:
. (2)
Начальное условие, которое обеспечивает единственность решения, формулируется как .
Рассмотрим подробнее теплофизическую задачу в упрощенной постановке.
Пусть нагретое тело помещено в среду, имеющую более низкую температуру .
Из опыта ясно, что тело будет остывать до тех пор, пока его температура не сравняется с температурой среды, но как будет происходить процесс остывания со временем? Для простоты рассмотрения предположим, что тело обладает высокой теплопроводностью, так что температура быстро выравнивается по всему объему, т.е. считаем, что равномерно нагретое тело будет так же равномерно остывать, и задачу распределения температуры в объеме мы не рассматриваем. Это существенное упрощение модели явления, так как в этом случае температура является функцией лишь одной переменной – времени . Лучистым теплообменом также пренебрежем, т.к. его вклад становится существенным при достаточно высоких температурах.
Выберем некоторый момент времени t, в который температура достигла значения , и посмотрим, что произойдет за бесконечно малый промежуток времени . За это время тело отдаст в среду с единицы поверхности количество тепла, пропорциональное разности температур тела и среды (закон Ньютона-Рихмана), и величине промежутка :
.
С другой стороны, за это время тело понизит свою температуру на величину , и
если массовая теплоемкость тела равна , а масса, сосредоточенная в объеме, ограниченном поверхностью с единичной площадью равна , то количество тепла
, отданное телом, равно . Тогда можем записать
,
откуда
, (3)
где коэффициент назовем коэффициентом остывания.
Таким образом, мы получили математическую модель для задачи остывания тела в виде обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка.
Для его решения необходимо иметь начальное условие: . Это уравнение
легко интегрируется, если коэффициент остывания - константа, однако, если является некоторой функцией температуры (что вполне реально), то для решения поставленной задачи приходится прибегать к численным методам.
Рассмотрим пример одномерного движения - падение тел у земной поверхности. Простейшее описание такого движения не учитывает внутренней структуры тела, рассматривая его как некий идеализированный объект – материальную точку. Хотя реальные тела точками не являются, для многих реальных задач такое упрощение модели оправдано и дает реальное представление о скоростях, времени падения и т.д. Для описания падения используется второй закон Ньютона, который гласит, что ускорение движущегося тела определяется равнодействующей всех сил, действующих на тело:
.
Этот закон может быть записан в виде дифференциального уравнения второго порядка
,
или в виде системы двух дифференциальных уравнений первого порядка, если ввести ускорение :
,
.
Здесь - масса тела, - его скорость, - ускорение, - координата.
Если при падении не учитываются сопротивление воздуха и выталкивающая сила, то единственной действующей на тело силой является сила тяжести, равная , где - ускорение свободного падения. В этом случае уравнение движения имеет аналитическое решение.
Однако зачастую, особенно при падении тел в более плотных, чем воздух, средах эти силы нужно учитывать. Как известно, выталкивающая сила равна весу жидкости, вытесненной телом, поэтому ее учет прост и эквивалентен уменьшению массы тела на величину , где - плотность внешней среды, в которой происходит падение, а - объем тела. Сложнее обстоит дело с силой сопротивления среды, которая, по опытным данным, зависит от скорости тела . Известны две эмпирические зависимости силы сопротивления от скорости: и , где коэффициенты и зависят от свойств среды и геометрии тела.
Вернемся к падению тел у поверхности Земли, когда выталкивающей силой можно пренебречь вследствие малой плотности воздуха. Равнодействующая сил, действующих на тело, в этом случае равна
.
Поскольку сила сопротивления возрастает с ростом скорости, то в процессе движения осуществляется некоторое значение скорости , при котором , что соответствует нулевому ускорению и, следовательно, установившейся скорости, с которой дальше продолжается падение. Эта скорость называется предельной скоростью, и она является константой для рассматриваемой задачи. Если известна зависимость , предельная скорость легко вычисляется, и ее можно использовать вместо констант и в уравнениях движения.
Допустим для определенности, что нам известна зависимость силы сопротивления от скорости в виде: . Тогда суммарная действующая на тело сила равна
,
и
. (4)
Представим математическую модель задачи в виде системы двух уравнений 1-го
порядка:
, (5)
. (6)
Начальные условия: , (при соответствующем выборе системы координат). Следуя методу Эйлера, заменяем дифференциальные выражения в уравнениях (5) и (6) их разностными аналогами (с учетом выражения (4) для ускорения):
,
.
откуда
, (7)
. (8)
Для решения системы (7), (8) два начальных условия у нас имеются.
Шаг по времени нужно выбирать достаточно малым, чтобы замена дифференциального выражения его разностным аналогом не привела к большой погрешности. Оценить погрешность метода можно, если применить полученный алгоритм к задаче, в которой сопротивлением воздуха можно пренебречь, т. е. имеется аналитическое решение.
