Модель переноса примеси при многокомпонентной фильтрации

Модель переноса примеси при однокомпонентной фильтрации

Расширим представленную модель (1) – (7) и включим в неё пассивную примесь. Будем считать, что пассивная примесь попадает в пласт вместе с водой и не может перейти из воды в нефть. Известно, что перенос примеси при однокомпонентной фильтрации описывается следующим уравнением:

. (9)

Здесь

— концентрация.

— количество адсорбированной на поверхности пор примеси. При обратимой адсорбции можно, например, считать, что , — площадь пор в единице объёма.

— поле скоростей фильтрации.

— диффузионный поток, вызванный конвективной диффузией.

— плотность мощности источников примеси.

Диффузионный поток имеет вид:

,

где - тензор конвективной диффузии. Есть феноменологические формулы, позволяющие получить его через скорость фильтрации и другие характеристики пористой среды. В данном случае применим формулу В. Н. Николаевского:

,

, ,

где и - некоторые положительные коэффициенты, соответствующие неоднородностям среды. Можно видеть, что в изотропной среде существует выделенное направление, соответствующее направлению вектора .

Обобщим уравнение (9) на случай многокомпонентной фильтрации. Предполагается, что фазы (вода и нефть) не смешиваются, и пассивная примесь может иметь ненулевую концентрацию только в воде и на стенках пор. Концентрация воды во флюиде равна . Поле скоростей фильтрации воды равно . Тогда поле скоростей течения воды определено в тех точках, где вода присутствует, и равно

.

Рассмотрим произвольный объём пористой среды. Закон сохранения количества примеси для этого объёма имеет вид:

, (10)

где:

— концентрация примеси;

— граница объёма ;

— плотность потока примеси;

— нормаль к поверхности ;

— плотность мощности источников примеси.

Рассмотрим малый объём . Количество растворённой примеси в объёме равно . Часть объёма занята водой. Соответственно в этой части объёма имеем молей примеси, адсорбированной на стенках пор. Так как примесь может иметь ненулевую концентрацию только в воде, то она не сможет из адсорбированного состояния перейти в нефть. Поэтому в части объёма, занятой нефтью, плотность адсорбированной примеси будет такая же, как и в части объёма, заполненной водой. В итоге во всём объёме имеем молей адсорбированной примеси.

Тогда суммарное количество примесей в объеме равно

. (11)

Рассмотрим некоторую малую площадь в пористой среде. Так как примесь может передвигаться только в воде, то достаточно рассмотреть поток через занятую водой часть этой площади.

Конвективный поток будет равен

.

Диффузионный поток будет равен

.

Тогда суммарный поток примеси через площадь будет равен

. (12)

Закон сохранения массы (10) с учетом (11) и (12) запишется в виде

.

Отсюда

. (13)

Так как объём не зависит от времени, можно поменять местами дифференцирование по времени и интегрирование в первом слагаемом. Тогда, в силу произвольности , будем иметь:

, (14)

где:

— пористость;

— концентрация примеси;

— водонасыщенность;

— концентрация адсорбированной в порах примеси;

— скорость фильтрации воды;

— диффузионный поток, вызванный конвективной диффузией;

— плотность мощности источников примесей.

Скорость фильтрации воды может быть определена в соответствии с обобщённым законом Дарси:

. (15)