Систему и совокупности уравнений.

Несколько уравнений образуют систему уравнений, если все они должны удовлетворяться одновременно. Множество решений системы уравнений получается как пересечение множеств решений каждого из уравнений системы. Чтобы показать, что уравнения образуют систему, их объединяют фигурной скобкой. Например в системе первое уравнение имеет два корня 2 и 3, а второе один корень 2. Значит система имеет один корень 2. .

Несколько уравнений образуют совокупность уравнений, если должно удовлетвориться хотя бы одно из этих уравнений. Множество решений совокупности уравнений получается как объединение множеств решений всех уравнений, входящих в совокупность.

Совокупность уравнений можно записывать в строку с соединительным союзом «или» ли записывать в столбец, объединяя уравнения слева фигурной скобкой. Например, в совокупности или первое уравнение имеет корни 2 и 3, второе 2 и -4. Значит, множество решений совокупности равно .

При решении систем уравнений с несколькими переменными можно использовать следующие преобразования:

1) Решить одно уравнение системы относительного одного из неизвестных и заменить это неизвестное в остальных уравнениях найденным выражением;

2) К любому из уравнений системы можно прибавлять любое другое, умноженное на любое действительное число;

3) Можно почленно делить левую часть одного уравнения системы на левую часть другого и первую часть первого уравнения на правую часть второго.

Благодаря последим двум приемам можно исключать некоторые неизвестные или привести систему к более удобному виду.

4) Можно использовать логические преобразования систем, позволяющие сводить к более простым в математическом отношении предложениям за счет более сложных логических связей. Например, систему уравнений можно заменить совокупностью двух систем или . В ОДЗ первоначальной системы это преобразование равносильно.

В процессе преобразований систем надо отдавать предпочтение равносильным преобразованиям.

Примеры.

1) . Ответ: (1;-1).

Второе уравнение третьей системы получено почленным сложением двух уравнений второй системы.

2) или или . Ответ: (5,25;2) или (-5,25;-2).

Первое уравнение второй системы получено почленным деление первого уравнения исходной системы на второе. От третей системы с совокупностью перешли к совокупности систем.

3) ; ; ; ; или . Ответ: (4;5), (-2;-1).

Систему уравнений с двумя переменными можно решать графически. Для этого в системе координат изображают графики каждого уравнения системы, находят точки, общие всем графикам системы, и координаты этих точек, проверяют подстановкой в каждое уравнение системы. Например, . Первое уравнение системы является уравнением окружности с центром в точке (3;1) и радиуса 2, второе – уравнение прямой. Они пересекаются в точке М (3;-1) и К (5;1). Координаты этих точек удовлетворяют системе.