П.3. Некоторые сложные виды тригонометрических уравнений.

Сложные тригонометрические уравнения с помощью алгебраических и тригонометрических преобразований сводится к элементарным тригонометрическим уравнениям. Рассмотрим примеры таких преобразований.

1. Использование условия равенства нулю произведения . ОДЗ=(-∞;+∞).

или или ;

или или .

Ответ: , где .

2. Использование условия равенства нулю дроби.

ОДЗ: в ОДЗ. ; ; . Среди чисел последней совокупности есть числа . Изобразив проколотыми точки, не входящие в ОДЗ и затушеванные точки, соответствующие корням уравнения, запишем последние в виде . Ответ: .

3. Введение новой неизвестной.

1) . ОДЗ=R. Пусть , тогда , , . , или - корней нет, т.к. 3>1. Ответ: .

2) . ОДЗ: . Пусть , тогда - дробно рациональное уравнение. В ОДЗ . Умножим обе части уравнения на u, получим: , , . или . Все найденные корни входят в ОДЗ. Ответ: , .

4. Однородными тригонометрическими уравнениями называют уравнения, каждое слагаемое которого является произведением степеней синуса или косинуса одного и того же аргумента и той же совокупной степени, т.е. сумма показателей степеней одна и та же у каждого слагаемого. Например, - однородное тригонометрическое уравнение первой степени, - однородное тригонометрическое уравнение второй степени.

Делением обеих частей однородного тригонометрического уравнения на k-тую степень синуса или на k-тую степень косинуса, где k– степень однородности уравнения, приводит к уравнению, содержащему лишь одну тригонометрическую функцию, тангенс или котангенс, и с помощью введения новой переменной сводится к алгебраическому уравнению.

Примеры:

1) - однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Если , то и , чего быть не может, т.к. косинус и синус одновременно в нуль не обращаются. Значит, уравнению удовлетворяют только значение xдля которых . Разделив обе части уравнения на , получим . Пусть , тогда , , , . , или , . Ответ: , .

2) - однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Если , то из уравнения получим тождество 0=0. Значит, все корни уравнения являются и корнями данного уравнения, . Если , то можно обе части уравнения разделить на , что приведет к уравнение. , . Учитывая оба случая, получим ответ в виде совокупности двух решений: , .

В решении последних двух уравнений применен метод перебора случаев, по которому надо рассмотреть все альтернативные для одного из них, иначе можно потерять корни.

Решение последнего уравнения можно свести к использованию условия равенства нулю произведения.

, или . Последнее уравнение – однородное тригонометрическое первой степени, сводится к уравнению .

5. Использование формул тригонометрии с цель. свести уравнение к известному виду.

Примеры:

1) . Аргументы у косинусов разные. Преобразуем сумму косинусов в произведение по формуле . . или ; или ; или . Совокупность чисел целиком входит в совокупность . Ответ: .

2) .

ОДЗ: . , т.к. совокупность чисел входит в совокупность чисел , то ОДЗ: . В уравнение входит тангенс с различными аргументами. Чтобы от одного уравнения перейти к уравнению, в которое входят тангенсы от одного аргумента, воспользуемся тем, что и формулами и . Получим: . В ОДЗ . Умножив обе части уравнения на , получим: , , . Пусть , тогда , , , . , или . В ОДЗ все полученные корни входят. Ответ: , .

3) . Перенесем все слагаемые в правую сторону уравнения и заменим на , получим: . Разделим полученное уравнение на 2, получим: . Учитывая, что , а и формулу , получим . По формуле для суммы косинусов , получим: . Используя условие равенства нулю произведения, имеем: или ; или ; или ; или . Ответ: ; .