Логарифмические уравнения.

Уравнение, содержащее неизвестную под знаком логарифма, называется логарифмическим. Простейшее логарифмическое уравнение , где a>0 и можно решить используя определение логарифма, . Проверка не нужна.

Если f(x)>0 и g(x)>0 (1), то логарифмическое уравнение , где a>0, a≠1, равносильно уравнению f(x)=g(x) (3), т.к. логарифмическая функция монотонна.

Переход от уравнения (2) к уравнению (3) без проверки условий (1) – выводное преобразование, по этому проверка необходима; ее можно провести подстановкой в исходное уравнение (2), либо систему (1), которая дает ОДЗ уравнения (2).

При решении логарифмических уравнений используют также метод введения новой переменной, преобразования на основе свойств логарифмов. Целью преобразования является сведение исходного уравнения к простейшему, либо к уравнению вида (2).

При решении уравнений, содержащих неизвестную и в основании, и в показателе степени, используется метод логарифмирования. Если при этом в показательной степени содержится логарифм, то обе части уравнения надо прологарифмировать по основанию этого логарифма.

Примеры:

1) , , , х=14. Ответ: 14.

2) , , , , . Проверка нужна, лучше проверить по ОДЗ. ОДЗ: и ; и ; . Значит , . . Значит, .

Ответ: .

4) . Приведем логарифмы к одному основанию: . Введем новую переменную , уравнение примет вид , , , что приводит к совокупности простых логарифмических уравнений или ; или . Проверка не нужна, так как все проведенные преобразования равносильны. Ответ: 0,2; 25.

5) . Введем новую переменную . Уравнение примет вид - дробно рациональное уравнение. Предполагая, что , умножим обе части уравнения на общий знаменатель дробей, получим: , , , . Корни удовлетворяют условию . Решим совокупность уравнений или ; или . Ответ:100; 10⁸.

6) Преобразуем выражение . По основному логарифмическому тождеству . Тогда . Тогда исходное уравнение принимает вид , , , . ОДЗ уравнения: . . В ОДЗ все сделанные преобразования равносильны. Ответ: 100.