Иррациональные уравнения.

Уравнение, в котором некоторое рациональное выражение содержащее переменную находится под знаком радикала или возводится в дробную степень, называют иррациональным.

Основные методы решения иррациональных уравнений:

· метод возведения обоих частей уравнения в одну и ту же степень;

· метод введения новых переменных;

· функционально – графический метод.

Примеры:

1) изолируем один из корней перенося в правую часть уравнения; возведем обе части уравнения в квадрат (выводное преобразование); изолируем корень; возведем обе части уравнения в квадрат; приведем квадратное уравнение к общему виду и решим его по общему алгоритму; . Поскольку наряду с равносильными использованы выводные преобразования, то нужна проверка.

Проверка. Если х=2, то - верно. Если ч=41, то уже первое из двух неотрицательных слагаемых левой части уравнения . Значит, равенство неверное, т.е. 41 – посторонний корень. Ответ: 2.

2) . Сделав замену , получим . Возведя в квадрат обе части уравнения, получим , , . Возведя в квадрат обе части уравнения, получим , , . В процессе преобразования наряду с равносильными дважды использованы выводные преобразования, значит нужна проверка.

В ОДЗ исходного уравнения с переменной uвходят значения u, удовлетворяющие системе: и и ; и и В ОДЗ все проведенные преобразования равносильны. , , т.е. -10 – посторонний корень. Сделав обратную замену, получим , , . Ответ: -3; 1.

3) Уравнение решим графически. Введем и построим график функций и .

Графиком первой функции является ветвь параболы, а второй – прямая. Графики имеют, единственную точку пересечения М. По графику находим ее абсциссу х=4. Подстановкой в уравнение убеждаемся, что действительно 4 – корень данного уравнения - верное. Ответ: 4.

4) . Возводим обе части уравнения в квадрат: , , , , . Проверка: По оценкам чисел и получим из уравнения для х₁ , для х₂ . Делаем вывод: х₁ может быть корнем исходного уравнения, х₂ – нет. Докажем, что х₁ – корень исходного уравнения. . Представим в виде квадрата методом неопределенных коэффициентов. . и ab=1. a=1 и b=1 удовлетворяют этой системе уравнений. Значит, , . Итак, - верное числовое равенство. Ответ: .

5) не имеет корней, т.к. и в ОДЗ уравнения и одновременно радикалы не обращаются в нули.